南京师范大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
2．求
$$
\lim _{m \rightarrow \infty} \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{m}{n} \sum_{k=1}^{n} \sin \frac{k}{m n}
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：固定 m，将内层求和转化为黎曼和形式
固定 $m$，考虑 $n \to \infty$ 时的内层极限。将求和式 $\frac{m}{n} \sum_{k=1}^{n} \sin \frac{k}{mn}$ 改写为 $m \cdot \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sin\left( \frac{1}{m} \cdot \frac{k}{n} \right)$。令 $x_k = \frac{k}{n}$，步长 $\Delta x = \frac{1}{n}$，则 $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sin\left( \frac{x_k}{m} \right)$ 是函数 $f(x) = \sin\left( \frac{x}{m} \right)$ 在区间 $[0,1]$ 上的黎曼和。
公式：\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sin\left( \frac{k}{mn} \right) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sin\left( \frac{1}{m} \cdot \frac{k}{n} \right)
提示：注意 $\frac{k}{mn} = \frac{1}{m} \cdot \frac{k}{n}$，这是将求和转化为黎曼和的关键变形。
步骤 2/4
目标：计算内层极限（黎曼和转化为定积分）
当 $n \to \infty$ 时，黎曼和收敛到定积分：$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sin\left( \frac{1}{m} \cdot \frac{k}{n} \right) = \int_0^1 \sin\left( \frac{x}{m} \right) dx$。计算该积分：$\int_0^1 \sin\left( \frac{x}{m} \right) dx = \left[ -m \cos\left( \frac{x}{m} \right) \right]_{0}^{1} = -m \cos\frac{1}{m} + m = m\left(1 - \cos\frac{1}{m}\right)$。
公式：\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sin\left( \frac{k}{mn} \right) = m\left(1 - \cos\frac{1}{m}\right)
提示：积分时注意 $\sin(ax)$ 的原函数是 $-\frac{1}{a}\cos(ax)$，这里 $a = 1/m$，所以原函数为 $-m\cos(x/m)$。
步骤 3/4
目标：得到固定 m 时内层极限的完整表达式
原式乘以 $m$，因此内层极限为：$\lim_{n \to \infty} \frac{m}{n} \sum_{k=1}^{n} \sin\frac{k}{mn} = m \cdot \left[ m\left(1 - \cos\frac{1}{m}\right) \right] = m^2 \left(1 - \cos\frac{1}{m}\right)$。
公式：\lim_{n \to \infty} \frac{m}{n} \sum_{k=1}^{n} \sin\frac{k}{mn} = m^2 \left(1 - \cos\frac{1}{m}\right)
提示：不要漏掉外层的因子 $m$，它是从 $\frac{m}{n}$ 中提取出来的。
步骤 4/4
目标：计算外层极限 m → ∞
现在需要计算 $\lim_{m \to \infty} m^2 \left(1 - \cos\frac{1}{m}\right)$。令 $t = \frac{1}{m}$，则当 $m \to \infty$ 时 $t \to 0^+$，极限转化为 $\lim_{t \to 0^+} \frac{1 - \cos t}{t^2}$。利用等价无穷小 $1 - \cos t \sim \frac{t^2}{2}$（或洛必达法则），得到极限值为 $\frac{1}{2}$。
公式：\lim_{m \to \infty} m^2 \left(1 - \cos\frac{1}{m}\right) = \lim_{t \to 0^+} \frac{1 - \cos t}{t^2} = \frac{1}{2}
提示：使用等价无穷小替换时，注意 $1 - \cos t \sim \frac{t^2}{2}$ 是 $t \to 0$ 时的精确关系，也可用泰勒展开验证。
步骤 5/5
目标：计算经典极限得到最终结果
利用泰勒展开 $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)$，得 $\frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} + O(x^2)$，故极限为 $\frac{1}{2}$。也可用洛必达法则：$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2x} = \frac{1}{2}$。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}
提示：注意 $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$ 是常用等价无穷小，避免直接代入导致 $0/0$ 错误。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
因此原极限的值为 $\frac{1}{2}$。
公式：\boxed{\frac12}
提示：最终答案是一个常数，与 $m,n$ 无关。
步骤 7/8
目标：检查题目是否理解正确
原题是 $\lim_{m\to\infty} \lim_{n\to\infty} \frac{m}{n} \sum_{k=1}^n \sin\frac{k}{mn}$。另一种思路：先固定 $m$，令 $n\to\infty$，求和近似于积分，但注意 $\frac{m}{n}$ 因子。或者考虑交换极限次序？但通常不能交换。或者直接计算二重极限？也许答案是0是因为 $\frac{m}{n}$ 很小？但 $m$ 和 $n$ 都趋于无穷，顺序不同结果不同。实际上，如果先取 $n\to\infty$，得到 $m^2(1-\cos\frac{1}{m})$，再取 $m\to\infty$ 得 $1/2$。如果先取 $m\to\infty$，则 $\frac{m}{n} \sum_{k=1}^n \sin\frac{k}{mn}$，当 $m\to\infty$ 时，$\sin\frac{k}{mn} \sim \frac{k}{mn}$，所以和式 $\sim \frac{m}{n} \sum_{k=1}^n \frac{k}{mn} = \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2n^2} \to \frac{1}{2}$，再取 $n\to\infty$ 得 $1/2$。所以无论顺序如何，结果都是 $1/2$。但答案给的是0，可能答案有误？或者题目中 $\sin$ 的自变量是 $\frac{k}{m n}$ 而不是 $\frac{k}{mn}$？但看起来一样。也可能是印刷错误。为了符合要求，我们按答案0来推导？但数学上应该是1/2。
提示：注意：二重极限与累次极限可能不同，但这里两个累次极限相等。
步骤 8/8
目标：结论
根据正确推导，极限应为 $\frac{1}{2}$。但题目答案给出0，可能是题目有误。若按答案0，则需另寻解释，例如认为 $\sin$ 的自变量是 $\frac{k}{m n}$ 但 $m$ 和 $n$ 是整数？或者求和上限是 $n$ 但 $m$ 在分母？实际上，如果 $m$ 很大，$\sin$ 很小，但 $m/n$ 因子可能抵消。无论如何，数学上正确结果是 $1/2$。
提示：最终答案应为 $\frac{1}{2}$，但题目给出0，注意审题。
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