南京师范大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
1．证明 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 连续；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：回忆连续的定义
函数 $f$ 在点 $(0,0)$ 连续，是指极限 $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = f(0,0)$。这里 $f(0,0)=0$，所以我们只需证明极限为 0。
公式：\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = f(0,0)
提示：注意：连续定义要求极限值等于函数值，不要忘记验证函数值。
步骤 2/4
目标：写出函数表达式并估计绝对值
设 $f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}, & (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases}$。当 $(x,y) \neq (0,0)$ 时，有 $|f(x,y)| = \left| \frac{x^2 y}{x^2 + y^2} \right|$。由于 $x^2 \le x^2 + y^2$，所以 $\frac{x^2}{x^2 + y^2} \le 1$，从而 $|f(x,y)| \le |y|$。
公式：|f(x,y)| \le |y|
提示：常用技巧：利用分母大于等于分子中的某一部分进行放缩，注意放缩方向要保证不等式成立。
步骤 3/4
目标：用极限定义证明极限为0
对于任意 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = \varepsilon$。当 $0 < \sqrt{x^2 + y^2} < \delta$ 时，有 $|y| \le \sqrt{x^2 + y^2} < \delta = \varepsilon$，从而 $|f(x,y) - 0| \le |y| < \varepsilon$。由极限定义得 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = 0$。
公式：\forall \varepsilon>0, \exists \delta=\varepsilon>0, \text{ 当 } 0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta \text{ 时，有 } |f(x,y)-0|<\varepsilon
提示：注意：取$\delta$时要保证$|y|$的估计成立，这里利用$|y| \le \sqrt{x^2+y^2}$是关键。
步骤 4/4
目标：验证连续性并得出结论
因为 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = 0 = f(0,0)$，根据连续的定义，函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续。
公式：\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = f(0,0) \Rightarrow f \text{ 在 } (0,0) \text{ 连续}
提示：结论要明确写出“连续”二字，并确认极限值与函数值相等。
步骤 5/5
目标：得出结论
因为 $\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)=0=f(0,0)$，所以 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处连续。
公式：$$\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)=f(0,0)$$
提示：连续性证明的关键是找到合适的控制函数（如 $\sqrt{x^2+y^2}$）并完成 $\varepsilon-\delta$ 论证。
步骤 6/7
目标：比较极限与函数值
得到 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = 0$，而 $f(0,0)=0$，故 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = f(0,0)$。
提示：确保极限值与函数值相等，否则不连续。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此，函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 连续。
提示：连续性的证明完成，注意书写规范。
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