南京师范大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
2．求 $f_{x}(0,0), f_{y}(0,0)$ ；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：明确函数定义与偏导数定义
题目未给出具体函数，假设常见分段函数：
$$f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^3 - y^3}{x^2 + y^2}, & (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases}$$
一阶偏导数在点$(0,0)$处由极限定义：
$$f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h}, \quad f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k) - f(0,0)}{k}$$
公式：$$f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h}$$
提示：注意偏导数定义中，分子是函数在点$(h,0)$与$(0,0)$处的差值，分母是$h$，且$h$趋于0。
步骤 2/4
目标：计算f_x(0,0)
先计算$f(h,0)$（$h \neq 0$）：
$$f(h,0) = \frac{h^3 - 0}{h^2 + 0} = \frac{h^3}{h^2} = h$$
已知$f(0,0)=0$，代入极限：
$$\frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \frac{h - 0}{h} = 1$$
取极限得：
$$f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} 1 = 1$$
公式：$$f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{h - 0}{h} = 1$$
提示：代入时注意$h \neq 0$，化简后分子分母约去$h$，得到常数1。
步骤 3/4
目标：计算f_y(0,0)
先计算$f(0,k)$（$k \neq 0$）：
$$f(0,k) = \frac{0 - k^3}{0 + k^2} = \frac{-k^3}{k^2} = -k$$
已知$f(0,0)=0$，代入极限：
$$\frac{f(0,k) - f(0,0)}{k} = \frac{-k - 0}{k} = -1$$
取极限得：
$$f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} (-1) = -1$$
公式：$$f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{-k}{k} = -1$$
提示：注意$f(0,k)$中分子为$-k^3$，化简后得到$-k$，再除以$k$得常数-1。
步骤 4/4
目标：总结结果
通过极限计算得到两个偏导数：
$$f_x(0,0) = 1, \quad f_y(0,0) = -1$$
公式：无新公式
提示：最终结果需明确写出，注意符号。
步骤 5/5
目标：得出结论
两个偏导数都存在且等于0，即 $f_x(0,0)=0$，$f_y(0,0)=0$。
公式：f_x(0,0)=0,\quad f_y(0,0)=0
提示：注意偏导数存在并不意味着函数在该点可微，本题仅求偏导数值。
步骤 6/7
目标：求极限得到 $f_y(0,0)$
代入极限定义：
$$f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{0}{k} = 0$$
公式：$$f_y(0,0)=0$$
提示：分子恒为0，极限为0。
步骤 7/7
目标：总结结果
因此，在点 $(0,0)$ 处，两个偏导数均为0：
$$f_x(0,0) = 0, \quad f_y(0,0) = 0$$
公式：$$f_x(0,0)=0,\ f_y(0,0)=0$$
提示：注意：偏导数存在并不一定意味着函数在该点可微，需进一步判断。
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