南京师范大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
3．证明 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 不可微．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确函数表达式与可微定义
假设函数为经典反例：
$f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}, & (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases}$
可微定义：若$f$在$(0,0)$可微，则存在常数$A,B$使得
$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{f(x,y)-f(0,0)-Ax-By}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0$。
公式：$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{f(x,y)-f(0,0)-Ax-By}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0$
提示：注意可微定义中余项必须是$\sqrt{x^2+y^2}$的高阶无穷小。
步骤 2/5
目标：计算偏导数$f_x(0,0)$和$f_y(0,0)$
按定义：
$f_x(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{0-0}{h} = 0$。
$f_y(0,0) = \lim_{k\to 0} \frac{f(0,k)-f(0,0)}{k} = \lim_{k\to 0} \frac{0-0}{k} = 0$。
公式：$f_x(0,0)=0,\quad f_y(0,0)=0$
提示：偏导数存在是可微的必要条件，但非充分。
步骤 3/5
目标：代入可微条件，化简极限表达式
若可微，则$A=f_x(0,0)=0$，$B=f_y(0,0)=0$，条件化为：
$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0$。
代入$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$得：
$\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{xy}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}$。
公式：$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{(x^2+y^2)^{3/2}} = 0$ 需验证
提示：注意分母为$(x^2+y^2)^{3/2}$，是三次方量级。
步骤 4/5
目标：沿路径$y=x$取极限
令$y=x$，则
$\frac{xy}{(x^2+y^2)^{3/2}} = \frac{x^2}{(2x^2)^{3/2}} = \frac{x^2}{2^{3/2}|x|^3} = \frac{1}{2^{3/2}|x|}$。
当$x\to 0$时，该表达式趋于$+\infty$，不趋于0。
公式：$\lim_{x\to 0} \frac{1}{2^{3/2}|x|} = +\infty$
提示：沿不同路径极限不同或不存在，即可否定可微。
步骤 5/5
目标：得出结论
由于沿路径$y=x$时极限不为0，故原极限不为0，不满足可微定义。因此$f(x,y)$在$(0,0)$处不可微。
公式：不可微
提示：偏导数存在仅保证沿坐标轴方向的变化，不能保证全微分存在。
步骤 6/6
目标：得出结论
由于沿路径 $y=x$ 时，$\Delta f$ 与 $\rho$ 的比值趋于无穷，不满足可微条件，故 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 不可微。
提示：不可微的证明通常通过反证法，即假设可微推出矛盾。
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