南京师范大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
1．设函数 $h(x)$ 在 $R$ 上可导，且存在 $K \geq 0$ 使
$$
\left|h^{\prime}(x)\right| \leq K, \forall x \in R .
$$
则 $h(x)$ 在 $R$ 上一致连续。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：回顾一致连续的定义
函数 $h(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续的定义是：对于任意给定的 $\varepsilon > 0$，存在一个 $\delta > 0$，使得对于任意 $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta$，就有 $|h(x_1) - h(x_2)| < \varepsilon$。这里的关键是 $\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$，而与 $x_1, x_2$ 的具体位置无关。
公式：$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x_1, x_2 \in \mathbb{R}: |x_1 - x_2| < \delta \Rightarrow |h(x_1) - h(x_2)| < \varepsilon$
提示：注意区分一致连续与逐点连续：逐点连续的 $\delta$ 依赖于点 $x_0$ 和 $\varepsilon$，而一致连续的 $\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$。
步骤 2/5
目标：利用导数有界条件，应用拉格朗日中值定理
已知 $|h'(x)| \leq K$ 对所有 $x \in \mathbb{R}$ 成立。对于任意两点 $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$，由拉格朗日中值定理，存在介于 $x_1$ 与 $x_2$ 之间的 $\xi$，使得 $h(x_1) - h(x_2) = h'(\xi)(x_1 - x_2)$。
公式：$h(x_1) - h(x_2) = h'(\xi)(x_1 - x_2), \quad \xi \in (\min(x_1, x_2), \max(x_1, x_2))$
提示：拉格朗日中值定理要求函数在闭区间上连续、开区间内可导，这里 $h$ 在 $\mathbb{R}$ 上可导，条件自然满足。
步骤 3/5
目标：推导Lipschitz条件
对上述等式两边取绝对值，并利用导数有界条件，得到 $|h(x_1) - h(x_2)| = |h'(\xi)| \cdot |x_1 - x_2| \leq K |x_1 - x_2|$。这说明函数 $h$ 满足Lipschitz条件，Lipschitz常数为 $K$。
公式：$|h(x_1) - h(x_2)| \leq K |x_1 - x_2|$
提示：Lipschitz条件是比一致连续更强的条件，它给出了函数值变化与自变量变化之间的线性控制关系。
步骤 4/5
目标：由Lipschitz条件证明一致连续
对于任意给定的 $\varepsilon > 0$，我们分两种情况讨论：
1. 若 $K > 0$，取 $\delta = \frac{\varepsilon}{K}$。则当 $|x_1 - x_2| < \delta$ 时，有 $|h(x_1) - h(x_2)| \leq K |x_1 - x_2| < K \cdot \frac{\varepsilon}{K} = \varepsilon$。
2. 若 $K = 0$，则 $|h(x_1) - h(x_2)| \leq 0$，即 $h$ 为常数函数，此时对任意 $\varepsilon > 0$，可取任意 $\delta > 0$（例如 $\delta = 1$），显然满足一致连续定义。
公式：$\delta = \begin{cases} \frac{\varepsilon}{K}, & K > 0 \\ 1, & K = 0 \end{cases}$
提示：当 $K=0$ 时，函数是常数，一致连续是平凡的，但需要单独说明，避免除以零。
步骤 5/5
目标：总结结论
综上所述，对于任意 $\varepsilon > 0$，我们总能找到一个只依赖于 $\varepsilon$ 的 $\delta$（当 $K>0$ 时取 $\delta = \varepsilon/K$，当 $K=0$ 时任意取 $\delta$），使得当任意两点距离小于 $\delta$ 时，函数值之差小于 $\varepsilon$。因此，$h(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续。
公式：无新公式
提示：证明的关键在于利用导数有界性导出Lipschitz条件，从而直接得到一致连续。
步骤 6/6
目标：验证一致连续性
当 $|x_1 - x_2| < \delta$ 时，由步骤4的不等式得 $|h(x_1) - h(x_2)| \leq K |x_1 - x_2| < K \cdot \frac{\varepsilon}{K} = \varepsilon$。因此，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $|x_1 - x_2| < \delta$ 时，$|h(x_1) - h(x_2)| < \varepsilon$。故 $h(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续。
提示：验证时注意 $\delta$ 的选取与 $x_1,x_2$ 无关，这正是一致连续的要求。
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