南京师范大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
2．设函数 $h(x)=x^{2}$ ，则 $h(x)$ 在 $R$ 上不一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：回顾一致连续的定义
函数 $f$ 在区间 $I$ 上一致连续的定义是：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对于任意 $x_1, x_2 \in I$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta$，就有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$。要证明不一致连续，只需找到某个 $\varepsilon_0 > 0$，使得对任意 $\delta > 0$，都存在 $x_1, x_2 \in I$ 满足 $|x_1 - x_2| < \delta$ 但 $|f(x_1) - f(x_2)| \geq \varepsilon_0$。
公式：一致连续定义：$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x_1, x_2 \in I: |x_1 - x_2| < \delta \Rightarrow |f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$
提示：注意一致连续要求 $\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$，而不依赖于 $x$ 的位置。
步骤 2/5
目标：选取特定的 $\varepsilon_0$
取 $\varepsilon_0 = 1$。接下来要证明：对任意 $\delta > 0$，存在 $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$，使得 $|x_1 - x_2| < \delta$ 但 $|x_1^2 - x_2^2| \geq 1$。
公式：$\varepsilon_0 = 1$
提示：选取 $\varepsilon_0$ 时通常取一个简单的正数，如 $1$，以便于后续构造。
步骤 3/5
目标：利用平方差公式构造两点
由平方差公式：$|x_1^2 - x_2^2| = |x_1 - x_2| \cdot |x_1 + x_2|$。令 $x_1 = x + \frac{\delta}{2}$，$x_2 = x - \frac{\delta}{2}$，则 $|x_1 - x_2| = \delta$，$|x_1 + x_2| = 2|x|$，于是 $|x_1^2 - x_2^2| = \delta \cdot 2|x|$。
公式：$|x_1^2 - x_2^2| = \delta \cdot 2|x|$
提示：构造时让两点距离恰好为 $\delta$，这样只需调整 $x$ 使乘积足够大。
步骤 4/5
目标：选取 $x$ 使得差值不小于 $\varepsilon_0$
我们需要 $\delta \cdot 2|x| \geq 1$，即 $|x| \geq \frac{1}{2\delta}$。取 $x = \frac{1}{\delta}$，则 $|x| = \frac{1}{\delta} \geq \frac{1}{2\delta}$ 成立。此时两点为 $x_1 = \frac{1}{\delta} + \frac{\delta}{2}$，$x_2 = \frac{1}{\delta} - \frac{\delta}{2}$，距离为 $\delta$，函数值差为 $\delta \cdot 2 \cdot \frac{1}{\delta} = 2 > 1$。
公式：$|x_1^2 - x_2^2| = 2$
提示：注意 $\delta$ 可能很小，但 $x$ 取 $\frac{1}{\delta}$ 会很大，这符合不一致连续的本质：在无穷远处函数变化剧烈。
步骤 5/5
目标：得出结论
对于 $\varepsilon_0 = 1$，无论 $\delta > 0$ 多么小，我们都能找到两点 $x_1 = \frac{1}{\delta} + \frac{\delta}{2}$ 和 $x_2 = \frac{1}{\delta} - \frac{\delta}{2}$，满足 $|x_1 - x_2| = \delta < \delta$（实际上等于 $\delta$，但小于任意比 $\delta$ 大的数，这里直接取等号即可），且 $|x_1^2 - x_2^2| = 2 \geq 1$。因此 $h(x) = x^2$ 在 $\mathbb{R}$ 上不一致连续。
公式：结论：$h(x)=x^2$ 在 $\mathbb{R}$ 上不一致连续
提示：证明不一致连续的关键是找到一对点，其距离可以任意小但函数值差保持大于某个固定正数。
步骤 6/6
目标：得出结论
由不一致连续的定义，$h(x)=x^2$ 在 $\mathbb{R}$ 上不一致连续。
提示：另一种常用构造：取 $x_n=n$，$y_n=n+\frac{1}{n}$，则 $|x_n-y_n|=\frac{1}{n}\to 0$，但 $|h(x_n)-h(y_n)| = |2+\frac{1}{n^2}| \to 2 \neq 0$，也可证明。
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