南京师范大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
1．$f_{n}, n=1.2 \cdots$ ，和 $f$ 在 $(a, b)$ 上可导；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明 \( f_n \) 逐点收敛于某个函数 \( f \)
由已知，对任意 \( x \\in (a,b) \)，由微积分基本定理，有\n\\[\nf_n(x) = f_n(x_0) + \\int_{x_0}^x f_n'(t) \\, dt.\n\\]\n因为 \( f_n(x_0) \) 收敛，设极限为 \( A \)；且 \( f_n' \) 在 \((a,b)\) 上一致收敛于 \( g \)，而一致收敛的连续函数列极限函数 \( g \) 在 \((a,b)\) 上连续，故对每个固定的 \( x \)，积分部分收敛于 \( \\int_{x_0}^x g(t) \\, dt \)。因此，定义\n\\[\nf(x) = A + \\int_{x_0}^x g(t) \\, dt,\n\\]\n则对每个 \( x \\in (a,b) \)，有 \( f_n(x) \\to f(x) \)，即逐点收敛。
公式：f_n(x) = f_n(x_0) + \\int_{x_0}^x f_n'(t) \\, dt
提示：注意此处需要利用 \( f_n' \) 一致收敛来保证积分极限与极限积分可交换，且 \( g \) 的连续性由一致收敛性保证。
步骤 2/4
目标：证明 \( f_n \) 在 \((a,b)\) 上一致收敛于 \( f \)
考虑差值：\n\\[\n|f_n(x) - f(x)| \\le |f_n(x_0) - A| + \\left|\\int_{x_0}^x [f_n'(t) - g(t)] \\, dt\\right|.\n\\]\n由于 \( f_n' \) 一致收敛于 \( g \)，对任意 \( \\varepsilon > 0 \)，存在 \( N_1 \) 使得当 \( n > N_1 \) 时，对所有 \( t \\in (a,b) \) 有 \( |f_n'(t)-g(t)| < \\varepsilon \)。于是积分绝对值不超过 \( \\varepsilon |x - x_0| \\le \\varepsilon (b-a) \)。同时，由于 \( f_n(x_0) \\to A \)，存在 \( N_2 \) 使得当 \( n > N_2 \) 时，\( |f_n(x_0)-A| < \\varepsilon \)。因此当 \( n > \\max(N_1, N_2) \) 时，对所有 \( x \\in (a,b) \)，\n\\[\n|f_n(x)-f(x)| \\le \\varepsilon + \\varepsilon(b-a),\n\\]\n这说明一致收敛成立。
公式：|f_n(x)-f(x)| \\le |f_n(x_0)-A| + \\varepsilon |x-x_0|
提示：注意积分限的长度 \( |x-x_0| \) 可能无界，但这里区间 \((a,b)\) 有界，故可用 \( b-a \) 控制；若区间无界，则需要额外条件。
步骤 3/4
目标：证明极限函数 \( f \) 可导且 \( f' = g \)
由 \( f \) 的定义：\n\\[\nf(x) = A + \\int_{x_0}^x g(t) \\, dt,\n\\]\n而 \( g \) 在 \((a,b)\) 上连续（因为一致收敛的连续函数列极限函数连续），所以由微积分基本定理，\( f \) 在 \((a,b)\) 上可导，且\n\\[\nf'(x) = g(x), \\quad \\forall x \\in (a,b).\n\\]
公式：f'(x) = g(x)
提示：这里关键是要先确认 \( g \) 的连续性，这由 \( f_n' \) 一致收敛且每个 \( f_n' \) 可导（从而连续）保证。
步骤 4/4
目标：总结结论
在所述条件下，\( f_n \) 一致收敛到某个可导函数 \( f \)，且导数的极限就是 \( f' \)，即\n\\[\n\\lim_{n \\to \\infty} f_n'(x) = f'(x), \\quad \\forall x \\in (a,b),\n\\]\n且收敛性在 \((a,b)\) 上一致成立。
公式：\\lim_{n \\to \\infty} f_n = f, \\quad \\lim_{n \\to \\infty} f_n' = f'
提示：注意该定理要求 \( f_n' \) 一致收敛且至少一点函数值收敛，缺一不可。
步骤 5/7
目标：证明函数列一致柯西，从而一致收敛
取 \(N = \max(N_1, N_2)\)，则当 \(n,m > N\) 时，对任意 \(x \in (a,b)\) 有：
\[ |f_n(x) - f_m(x)| \le |f_n(x_0)-f_m(x_0)| + \left|\int_{x_0}^{x} [f_n'(t)-f_m'(t)]\, dt\right| \]
\[ < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2(b-a)} \cdot |x-x_0| \le \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. \]
因此 \(\{f_n\}\) 在 \((a,b)\) 上一致柯西，从而一致收敛到某个函数 \(f\)。
公式：|f_n(x) - f_m(x)| < \varepsilon
提示：这里用到了 \(|x-x_0| \le b-a\) 来放缩积分项，确保估计与 \(x\) 无关。
步骤 6/7
目标：利用积分表示和极限交换证明极限函数可导
由牛顿-莱布尼茨公式：
\[ f_n(x) = f_n(x_0) + \int_{x_0}^{x} f_n'(t)\, dt. \]
令 \(n \to \infty\)，由于 \(f_n'\) 一致收敛到 \(g\)，且 \(f_n(x_0)\) 收敛到某常数 \(A\)，可以交换极限与积分：
\[ f(x) = A + \int_{x_0}^{x} g(t)\, dt. \]
因为 \(g\) 是一致收敛的连续函数列极限，故 \(g\) 连续，从而上式右端可导，且导数为 \(g(x)\)。因此 \(f\) 可导且 \(f'(x) = g(x)\)。
公式：f(x) = \lim_{n\to\infty} f_n(x_0) + \int_{x_0}^{x} \lim_{n\to\infty} f_n'(t)\, dt = A + \int_{x_0}^{x} g(t)\, dt
提示：一致收敛性保证了极限与积分交换的合法性，而 \(g\) 的连续性由一致收敛的连续函数列极限保证。
步骤 7/7
目标：总结结论
综上，我们证明了：若 \(f_n\) 在 \((a,b)\) 上可导，\(f_n'\) 一致收敛到 \(g\)，且存在一点 \(x_0\) 使 \(f_n(x_0)\) 收敛，则 \(f_n\) 一致收敛到某个可导函数 \(f\)，且 \(f' = g\)。
提示：这个结论是数学分析中函数序列微分性质的重要定理，注意与“导数一致收敛则函数列一致收敛（加一点条件）”的对应关系。
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