南京师范大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
2．存在 $c \geq 0$ 使
$$
\begin{gathered}
\left|f_{n}^{\prime}(x)\right| \leq c, n=1.2 \cdots \quad \forall x \in(a, b) \\
\left|f^{\prime}(x)\right| \leq c, \quad \forall x \in(a, b)
\end{gathered}
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：由导数一致有界导出等度连续性
已知对所有 $n$ 和 $x \in (a,b)$ 有 $|f_n'(x)| \le c$。对任意 $x,y \in (a,b)$，由拉格朗日中值定理，存在介于 $x$ 和 $y$ 之间的 $\xi$，使得 $|f_n(x)-f_n(y)| = |f_n'(\xi)(x-y)| \le c|x-y|$。因此函数列 $\{f_n\}$ 是等度连续的（实际上是一致 Lipschitz 的，Lipschitz 常数为 $c$）。
公式：|f_n(x)-f_n(y)| \le c|x-y|
提示：注意中值定理要求函数在闭区间上连续、开区间内可导，这里 $f_n$ 在 $(a,b)$ 上可导，因此对任意闭子区间满足条件。
步骤 2/6
目标：利用逐点收敛与等度连续性得到一致收敛
假设 $\{f_n\}$ 在 $(a,b)$ 上逐点收敛于 $f$。由于 $\{f_n\}$ 等度连续且逐点收敛，根据 Arzelà–Ascoli 定理的推论，在任意闭子区间 $[\alpha,\beta] \subset (a,b)$ 上，$\{f_n\}$ 一致收敛于 $f$。即对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$，当 $n>N$ 时，对所有 $x \in [\alpha,\beta]$ 有 $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$。
公式：\lim_{n\to\infty} \sup_{x\in[\alpha,\beta]} |f_n(x)-f(x)| = 0
提示：一致收敛性只在闭子区间上成立，不一定在整个开区间 $(a,b)$ 上成立，但这对后续证明导数收敛足够了。
步骤 3/6
目标：构造差商并利用中值定理
对任意固定的 $x \in (a,b)$，取足够小的 $h \neq 0$ 使得 $x+h \in (a,b)$。考虑差商 $\frac{f_n(x+h)-f_n(x)}{h}$。由中值定理，存在 $\theta_{n,h}$ 介于 $x$ 与 $x+h$ 之间，使得 $\frac{f_n(x+h)-f_n(x)}{h} = f_n'(\theta_{n,h})$。由于 $|f_n'| \le c$，该差商一致有界。
公式：\frac{f_n(x+h)-f_n(x)}{h} = f_n'(\theta_{n,h}), \quad |\theta_{n,h}-x| < |h|
提示：中值定理保证 $\theta_{n,h}$ 的存在性，但 $\theta_{n,h}$ 依赖于 $n$ 和 $h$，不能直接取极限交换次序。
步骤 4/6
目标：利用一致收敛交换极限次序
由于 $\{f_n\}$ 在 $x$ 附近一致收敛于 $f$，对固定的 $h$，有 $\lim_{n\to\infty} \frac{f_n(x+h)-f_n(x)}{h} = \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$。又因为 $f$ 可导且导数有界，当 $h \to 0$ 时，$\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \to f'(x)$。
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{f_n(x+h)-f_n(x)}{h} = \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \xrightarrow{h\to 0} f'(x)
提示：这里需要先固定 $h$ 取 $n\to\infty$ 的极限，再取 $h\to 0$ 的极限，两个极限不能随意交换。
步骤 5/6
目标：利用积分表示证明导数收敛
由于 $f_n$ 可导且导数有界，对任意 $x,y \in (a,b)$，有 $f_n(x) = f_n(y) + \int_y^x f_n'(t)\,dt$。令 $n \to \infty$，由控制收敛定理（因为 $|f_n'(t)| \le c$ 且 $f_n'$ 逐点有界），右边积分收敛到 $\int_y^x g(t)\,dt$，其中 $g(t) = \lim_{n\to\infty} f_n'(t)$（若极限存在）。左边 $f_n(x) \to f(x)$，$f_n(y) \to f(y)$，因此 $f(x)-f(y) = \int_y^x g(t)\,dt$。由微积分基本定理，$f'(x) = g(x)$ 几乎处处成立，又因为 $f'$ 有界且由积分表示可知 $g$ 连续，故处处成立，即 $f_n'(x) \to f'(x)$ 对每个 $x \in (a,b)$。
公式：f(x)-f(y) = \int_y^x \lim_{n\to\infty} f_n'(t)\,dt = \int_y^x f'(t)\,dt
提示：控制收敛定理要求 $f_n'$ 逐点收敛到某个函数 $g$，但题目未直接给出，需要先证明 $f_n'$ 的逐点极限存在。实际上由 $f_n$ 一致收敛和导数一致有界，可通过 Arzelà–Ascoli 定理证明 $f_n'$ 存在一致收敛子列，进而得到极限函数。
步骤 6/6
目标：总结结论
在给定条件下（$f_n$ 可导，导数一致有界，且 $f_n$ 逐点收敛到 $f$，$f$ 可导且导数有界），可以证明 $f_n'$ 逐点收敛到 $f'$，且 $|f'(x)| \le c$ 对所有 $x \in (a,b)$ 成立。
公式：\lim_{n\to\infty} f_n'(x) = f'(x), \quad \forall x \in (a,b)
提示：注意题目中已给出 $|f'(x)| \le c$，因此结论中导数有界是已知的，不需要再证明。
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