南京师范大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
3． $\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=f(x), \quad \forall x \in P$ ，
## 其中 $P$ 为 $(a, b)$ 中的有理数集．
则 $\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=f(x), \quad \forall x \in(a, b)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意与条件
题目给出：对于区间 $(a,b)$ 内的所有有理数 $x$（记作 $x \in P$），函数列 $\{f_n(x)\}$ 逐点收敛到 $f(x)$，即 $\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x), \forall x \in P$。结论声称：该收敛性可以推广到整个区间 $(a,b)$（包括无理数点）。
公式：\forall x \in P \subset (a,b), \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)
提示：注意：有理数集在实数中稠密，但稠密子集上的逐点收敛不能直接推出整个区间上的逐点收敛，需要额外条件（如一致收敛、单调性等）。
步骤 2/6
目标：分析命题的真伪
由于题目未给出 $f_n$ 的任何连续性、单调性或一致收敛性等附加条件，仅凭有理点上的逐点收敛，无法保证无理点处的极限存在或与 $f(x)$ 一致。因此，该命题通常不成立，我们需要构造反例。
公式：\text{反例构造思路：使 } f_n \text{ 在有理点恒为常数，在无理点振荡或取不同值}
提示：常见错误：误以为有理数稠密就能推出所有点收敛，忽略了极限过程与稠密性的交互需要一致条件。
步骤 3/6
目标：构造反例（具体函数列）
取区间 $(a,b) = (0,1)$。定义函数列 $f_n(x)$ 如下：
$$
f_n(x) =
\begin{cases}
0, & x \in \mathbb{Q} \cap (0,1) \\
1, & x \notin \mathbb{Q} \text{ 且 } n \text{ 为偶数} \\
0, & x \notin \mathbb{Q} \text{ 且 } n \text{ 为奇数}
\end{cases}
$$
即：对所有有理数 $x$，$f_n(x)=0$ 恒成立；对无理数 $x$，$f_n(x)$ 的值随 $n$ 的奇偶性在 $0$ 和 $1$ 之间交替。
公式：f_n(x)=\begin{cases}0,&x\in\mathbb{Q}\\1,&x\notin\mathbb{Q},\,n\text{为偶数}\\0,&x\notin\mathbb{Q},\,n\text{为奇数}\end{cases}
提示：注意：有理数点上的极限为0，但无理数点上极限不存在（因为子列极限不同）。
步骤 4/6
目标：验证反例满足条件
对于任意有理数 $x \in (0,1) \cap \mathbb{Q}$，由定义，对所有 $n$ 有 $f_n(x)=0$，因此 $\lim_{n\to\infty} f_n(x)=0$，即 $f(x)=0$。条件成立。
公式：\forall x \in P,\, f_n(x)=0 \Rightarrow \lim_{n\to\infty}f_n(x)=0
提示：条件只要求有理点收敛，这里完全满足。
步骤 5/6
目标：验证结论不成立
取任意无理数 $x_0 \in (0,1)\setminus\mathbb{Q}$，则当 $n$ 为偶数时 $f_n(x_0)=1$，当 $n$ 为奇数时 $f_n(x_0)=0$。因此 $\{f_n(x_0)\}$ 不收敛（极限不存在），更不可能等于 $f(x_0)$（即使定义 $f(x_0)$ 也无意义）。故结论 $\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x),\forall x\in(a,b)$ 不成立。
公式：\lim_{n\to\infty}f_n(x_0) \text{ 不存在} \Rightarrow \text{结论错误}
提示：反例表明：即使有理点处处收敛，无理点仍可能发散，因此原命题为假。
步骤 6/6
目标：总结与反思
本题揭示了一个重要事实：从稠密子集上的逐点收敛不能无条件推广到整个区间。若要结论成立，通常需要附加条件，例如函数列具有一致收敛性、等度连续性或单调性等。本题的常见错误是忽略这些条件，误认为有理数稠密即足够。
公式：\text{稠密子集上的逐点收敛} \nRightarrow \text{整个区间上的逐点收敛}
提示：附加条件示例：若 $\{f_n\}$ 在 $(a,b)$ 上一致收敛，则有理点收敛可推出整个区间收敛。
步骤 7/7
目标：结论
该函数序列在有理数集上逐点收敛到 $f(x)=1$，但在整个区间 $(a,b)$ 上，极限函数不是 $1$（因为无理点上极限为0），因此原命题不成立。注意：区间 $(a,b)$ 需包含有理数和无理数。
提示：反例表明，即使有理点稠密，函数序列在有理点收敛也不能保证在整个区间上收敛到同一函数。
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