南京师范大学 2016年数学分析第0题

我们需要构造一个定义在开区间 $(-1,1)$ 上的函数 $f$，使得存在一点 $x_0 \in (-1,1)$，$f$ 在 $x_0$ 处连续，但在区间内其他所有点都不连续。即函数“只在一点连续”。

一个经典构造是修改狄利克雷函数，使得在某个特定点处有理数和无理数的取值趋于相同。例如，定义函数： $$ f(x) = \begin{cases} x, & \text{如果 } x \text{ 是有理数} \\ 0, & \text{如果 } x \text{ 是无理数} \end{cases} $$ 该函数在 $x=0$ 处可能连续，在其他点不连续。

取 $x_0=0$，则 $f(0)=0$。对任意 $\varepsilon>0$，取 $\delta=\varepsilon$，当 $|x-0|<\delta$ 时： - 若 $x$ 是有理数，则 $|f(x)-f(0)|=|x-0|<\delta=\varepsilon$； - 若 $x$ 是无理数，则 $|f(x)-f(0)|=|0-0|=0<\varepsilon$。 因此 $f$ 在 $x=0$ 处连续。

任取 $x_0\neq0$： - 若 $x_0$ 是有理数，则 $f(x_0)=x_0\neq0$。在任意邻域内存在无理数 $x$，使得 $f(x)=0$，则 $|f(x)-f(x_0)|=|0-x_0|>0$，无法小于 $\frac{|x_0|}{2}$，故不连续。 - 若 $x_0$ 是无理数，则 $f(x_0)=0$。在任意邻域内存在有理数 $x$ 接近 $x_0$，使得 $f(x)=x$ 接近 $x_0\neq0$，则 $|f(x)-f(x_0)|=|x-0|$ 接近 $|x_0|>0$，同样不连续。 因此 $f$ 在 $x\neq0$ 处均不连续。

定义域为 $(-1,1)$，$0$ 在该区间内，因此函数符合要求。最终函数为： $$ f(x)=\begin{cases} x, & x\in(-1,1)\cap\mathbb{Q} \\ 0, & x\in(-1,1)\setminus\mathbb{Q} \end{cases} $$ 该函数在 $x=0$ 处连续，在其他点均不连续。

因此，函数 $$ f(x) = \begin{cases} x, & x \in (-1,1) \cap \mathbb{Q} \\ 0, & x \in (-1,1) \setminus \mathbb{Q} \end{cases} $$ 满足：定义域为 $(-1,1)$，值域为 $\mathbb{R}$，且只在 $x=0$ 处连续，在其他点处均不连续。