南京师范大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
2．给出函数 $g:(-1,1) \rightarrow R, g$ 只在一点可导．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题目要求
题目要求构造一个定义在开区间 $(-1,1)$ 上的实值函数 $g$，使得 $g$ 在区间内仅在某一点处可导，而在其余所有点处均不可导。这是一个经典的反例构造问题，通常利用函数在有理数和无理数上的不同定义来实现。
提示：注意定义域是开区间，可导点可以选为 $x=0$ 以简化构造。
步骤 2/5
目标：选择可导点并构造函数
选取可导点为 $x=0$。构造如下分段函数：
$$
g(x) = \begin{cases}
x^2, & \text{若 } x \in \mathbb{Q} \\
0, & \text{若 } x \notin \mathbb{Q}
\end{cases}
$$
其中 $\mathbb{Q}$ 表示有理数集。该函数定义在全体实数上，限制在 $(-1,1)$ 上即满足题意。
公式：g(x)=\begin{cases} x^2, & x\in\mathbb{Q} \\ 0, & x\notin\mathbb{Q} \end{cases}
提示：有理数和无理数在实数中稠密，这会导致函数在非零点处震荡剧烈。
步骤 3/5
目标：验证在 $x=0$ 处可导
计算 $g(0)=0$（因为 $0$ 是有理数）。对任意非零 $x$，差商为：
$$
\frac{g(x)-g(0)}{x-0} = \frac{g(x)}{x}
$$
- 若 $x$ 为有理数，则差商 $= x^2/x = x \to 0$（当 $x\to0$）；
- 若 $x$ 为无理数，则差商 $= 0/x = 0 \to 0$。
因此无论 $x$ 以何种方式趋于 $0$，差商极限均为 $0$，故 $g'(0)=0$。
公式：\lim_{x\to 0}\frac{g(x)-g(0)}{x}=0
提示：关键在于有理数和无理数两种路径的极限一致。
步骤 4/5
目标：验证在其他点 $x_0 \neq 0$ 处不可导
分两种情况讨论：
- 若 $x_0$ 为有理数，则 $g(x_0)=x_0^2$。取有理数列 $x_n \to x_0$，差商 $\to 2x_0$；取无理数列 $y_n \to x_0$，差商 $\to -x_0$。由于 $x_0\neq0$ 时 $2x_0 \neq -x_0$，故极限不存在。
- 若 $x_0$ 为无理数，则 $g(x_0)=0$。取有理数列 $x_n \to x_0$，差商 $\to x_0$；取无理数列 $y_n \to x_0$，差商 $\to 0$。由于 $x_0\neq0$ 时 $x_0 \neq 0$，故极限不存在。
因此 $g$ 在任意 $x_0 \neq 0$ 处不可导。
提示：利用有理数和无理数序列的极限不同来证明不可导，注意 $x_0=0$ 是唯一例外。
步骤 5/5
目标：确认定义域并总结
函数 $g$ 定义在 $(-1,1)$ 上，显然满足条件：仅在 $x=0$ 处可导，在其他点均不可导。该构造是经典的反例，展示了函数可导性对局部性质的严格要求。
提示：该函数在 $x=0$ 处连续且可导，但在其他点甚至不连续（因为有理数和无理数极限不同）。
步骤 6/6
目标：总结并给出最终答案
函数 $g(x)=\begin{cases} x^2, & x \text{为有理数} \\ 0, & x \text{为无理数} \end{cases}$ 定义在 $(-1,1)$ 上，满足只在 $x=0$ 处可导，且导数为 $0$。
公式：$g'(0)=0$
提示：此函数在 $x=0$ 处连续（因为 $g(x) \to 0$），但在其他点不连续，因此不可导。
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