南京师范大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
1.
$$
\iint_{D} e^{v(x, y)} d x d y
$$
其中
$$
v(x, y)=\frac{x-y}{x+y}
$$
D 是由 $x=0, y=0, x+y=1$ 所围区域．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：明确积分区域
积分区域 D 由直线 x=0, y=0, x+y=1 围成，为第一象限的直角三角形，顶点为 (0,0), (1,0), (0,1)。因此区域可表示为：
\[
0 \le x \le 1,\quad 0 \le y \le 1-x
\]
公式：D = \{ (x,y) \mid 0 \le x \le 1,\; 0 \le y \le 1-x \}
提示：注意三角形区域边界条件，确保积分限正确。
步骤 2/8
目标：写出积分表达式
二重积分化为累次积分：
\[
I = \iint_D e^{\frac{x-y}{x+y}} \, dx\,dy = \int_{x=0}^{1} \int_{y=0}^{1-x} e^{\frac{x-y}{x+y}} \, dy\, dx
\]
公式：I = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} e^{\frac{x-y}{x+y}} \, dy\, dx
提示：直接积分较复杂，考虑变量替换简化分母。
步骤 3/8
目标：变量替换与雅可比行列式
令 u = x+y, v = x-y，则反解：
\[
x = \frac{u+v}{2},\quad y = \frac{u-v}{2}
\]
雅可比行列式：
\[
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac12 & \frac12 \\ \frac12 & -\frac12 \end{vmatrix} = -\frac12
\]
取绝对值，雅可比为 \frac12。
公式：|J| = \frac12
提示：计算雅可比时注意符号，取绝对值。
步骤 4/8
目标：变换积分区域
原区域条件：x ≥ 0, y ≥ 0, x+y ≤ 1。用 u,v 表示：
- x ≥ 0 ⇒ u+v ≥ 0
- y ≥ 0 ⇒ u−v ≥ 0
- x+y ≤ 1 ⇒ u ≤ 1
且 u = x+y ≥ 0，因此新区域为：
\[
0 \le u \le 1,\quad -u \le v \le u
\]
公式：D' = \{ (u,v) \mid 0 \le u \le 1,\; -u \le v \le u \}
提示：注意由 u+v ≥ 0 和 u−v ≥ 0 推导 v 的范围。
步骤 5/8
目标：变换被积函数并写出新积分
被积函数变为：
\[
e^{\frac{x-y}{x+y}} = e^{\frac{v}{u}}
\]
积分变为：
\[
I = \int_{u=0}^{1} \int_{v=-u}^{u} e^{v/u} \cdot \frac12 \, dv\, du
\]
公式：I = \frac12 \int_{0}^{1} \int_{-u}^{u} e^{v/u} \, dv\, du
提示：不要漏掉雅可比因子 1/2。
步骤 6/8
目标：先对 v 积分
固定 u，令 t = v/u，则 dv = u dt，积分限 t 从 -1 到 1：
\[
\int_{v=-u}^{u} e^{v/u} \, dv = u \int_{-1}^{1} e^{t} \, dt = u (e - e^{-1})
\]
公式：\int_{-u}^{u} e^{v/u} \, dv = u (e - e^{-1})
提示：换元时注意积分限的对应。
步骤 7/8
目标：再对 u 积分
代入结果：
\[
I = \frac12 \int_{0}^{1} u (e - e^{-1}) \, du = \frac12 (e - e^{-1}) \int_{0}^{1} u \, du
\]
计算：
\[
\int_{0}^{1} u \, du = \frac12
\]
因此：
\[
I = \frac12 (e - e^{-1}) \cdot \frac12 = \frac14 (e - e^{-1})
\]
公式：I = \frac14 (e - e^{-1})
提示：注意常数因子的乘法。
步骤 8/8
目标：简化结果
将结果写成更紧凑的形式：
\[
I = \frac{e^2 - 1}{4e}
\]
公式：\boxed{\frac{e^2 - 1}{4e}}
提示：通分时注意 e^{-1} = 1/e。
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