南京师范大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
2.
$$
\int_{A B}(\sin y+y) d x+x \cos y d y
$$
其中 $A B$ 为由 $(0,0)$ 到 $(3,0)$ 经曲线 $y=x(3-x)$ 上半部的路线．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：判断积分是否与路径无关
设 $P(x,y) = \sin y + y$，$Q(x,y) = x \cos y$。计算偏导数：
$$
\frac{\partial P}{\partial y} = \cos y + 1, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} = \cos y
$$
两者不相等（相差1），因此不是恰当微分，不能直接用格林定理简化，需直接参数化曲线计算。
公式：\frac{\partial P}{\partial y} = \cos y + 1, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} = \cos y
提示：注意偏导数不相等时，曲线积分一般与路径有关，需沿给定路径计算。
步骤 2/6
目标：参数化曲线
曲线为 $y = x(3-x) = 3x - x^2$，$x$ 从 $0$ 到 $3$。取参数 $t = x$，则
$$
x = t, \quad y = 3t - t^2, \quad t \in [0,3]
$$
微分得：
$$
dx = dt, \quad dy = (3 - 2t) dt
$$
公式：x = t, \quad y = 3t - t^2, \quad dx = dt, \quad dy = (3-2t)dt
提示：参数化时注意曲线方向与参数范围一致，从 (0,0) 到 (3,0)。
步骤 3/6
目标：代入积分表达式
原积分为
$$
\int_{AB} (\sin y + y) dx + x \cos y dy = \int_0^3 \left[ (\sin(3t - t^2) + (3t - t^2)) \cdot 1 + t \cos(3t - t^2) \cdot (3-2t) \right] dt
$$
拆分为三项：
$$
I = \int_0^3 \sin(3t - t^2) dt + \int_0^3 (3t - t^2) dt + \int_0^3 t(3-2t) \cos(3t - t^2) dt
$$
公式：I = \int_0^3 \sin(3t - t^2) dt + \int_0^3 (3t - t^2) dt + \int_0^3 t(3-2t) \cos(3t - t^2) dt
提示：代入时注意每一项的系数，不要遗漏微分因子。
步骤 4/6
目标：计算多项式积分
计算第二项：
$$
\int_0^3 (3t - t^2) dt = \left[ \frac{3t^2}{2} - \frac{t^3}{3} \right]_0^3 = \frac{27}{2} - 9 = \frac{9}{2}
$$
公式：\int_0^3 (3t - t^2) dt = \frac{9}{2}
提示：多项式积分直接使用牛顿-莱布尼茨公式，注意计算准确。
步骤 5/6
目标：合并第一项和第三项
观察函数 $F(t) = t \sin(3t - t^2)$ 的导数：
$$
\frac{d}{dt} [ t \sin(3t - t^2) ] = \sin(3t - t^2) + t \cos(3t - t^2) \cdot (3 - 2t)
$$
这正是第一项与第三项被积函数之和。因此
$$
\int_0^3 \left[ \sin(3t - t^2) + t(3-2t) \cos(3t - t^2) \right] dt = \left[ t \sin(3t - t^2) \right]_0^3
$$
在 $t=0$ 和 $t=3$ 时，$3t - t^2 = 0$，故 $\sin 0 = 0$，该部分积分为 $0$。
公式：\frac{d}{dt}[ t \sin(3t - t^2) ] = \sin(3t - t^2) + t(3-2t) \cos(3t - t^2)
提示：注意观察被积函数是否可视为某个函数的导数，从而简化计算。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
原积分 $I$ 等于多项式积分的结果：
$$
I = \frac{9}{2}
$$
公式：\boxed{\frac{9}{2}}
提示：最终答案需化简为最简分数形式。
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