南京师范大学 2016年数学分析第0题

积分区域 $D$ 由 $x=0$, $y=0$, $x+y=1$ 围成，是一个直角三角形。被积函数为 $e^{v(x,y)} = e^{\frac{x-y}{x+y}}$，其形式提示我们进行变量替换 $u = x+y$, $v = x-y$。

令 $u = x+y$, $v = x-y$，反解得 $x = \frac{u+v}{2}$, $y = \frac{u-v}{2}$。雅可比行列式为 $\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac12 & \frac12 \\ \frac12 & -\frac12 \end{vmatrix} = -\frac12$，取绝对值为 $\frac12$。区域变换：$x=0 \Rightarrow v=-u$, $y=0 \Rightarrow v=u$, $x+y=1 \Rightarrow u=1$，且 $u>0$。

积分化为 $\iint_D e^{\frac{x-y}{x+y}} dxdy = \int_{u=0}^{1} \int_{v=-u}^{u} e^{v/u} \cdot \frac12 \, dv\, du$。先对 $v$ 积分：$\int_{-u}^{u} e^{v/u} dv = u\left[ e^{v/u} \right]_{v=-u}^{v=u} = u(e - e^{-1})$。

原积分 = $\frac12 \int_0^1 u(e - e^{-1})\, du = \frac{e - e^{-1}}{2} \cdot \left[ \frac{u^2}{2} \right]_0^1 = \frac{e - e^{-1}}{4}$。

曲线 $AB$ 为 $y = x(3-x)$ 从 $(0,0)$ 到 $(3,0)$ 的上半部分。设 $P = \sin y + y$, $Q = x\cos y$。计算 $\frac{\partial P}{\partial y} = \cos y + 1$, $\frac{\partial Q}{\partial x} = \cos y$，两者不相等，故不是恰当微分。但注意到 $\sin y\,dx + x\cos y\,dy$ 是 $x\sin y$ 的全微分。

原积分 $\int_{AB} (\sin y + y)\,dx + x\cos y\,dy = \int_{AB} (\sin y\,dx + x\cos y\,dy) + \int_{AB} y\,dx$。第一部分 $\int_{AB} \sin y\,dx + x\cos y\,dy = [x\sin y]_{(0,0)}^{(3,0)} = 3\cdot 0 - 0 = 0$。

剩余部分 $\int_{AB} y\,dx$，将曲线参数化：$x = t$, $y = t(3-t)$, $t: 0 \to 3$，则 $dx = dt$。积分化为 $\int_0^3 t(3-t)\,dt = \int_0^3 (3t - t^2)\,dt = \left[ \frac{3t^2}{2} - \frac{t^3}{3} \right]_0^3 = \frac{27}{2} - 9 = \frac{9}{2}$。

因此整个曲线积分的值为 $\frac{9}{2}$。