南京师范大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
八、（15 分）求
$$
\iint_{S}\left(y^{2}-x\right) d y d z+\left(z^{2}-y\right) d z d x+\left(x^{2}-z\right) d x d y
$$
其中 $S$ 为曲面 $\displaystyle z=2-x^{2}-y^{2}(1 \leq z \leq 2)$ 的上侧．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析曲面与方向，考虑补面使用高斯公式
曲面 $S$ 为 $z=2-x^2-y^2$ 上 $1\le z\le 2$ 的部分，取上侧。由于曲面不封闭，补上底面 $S_1: z=1$（$x^2+y^2\le 1$），取下侧，则 $S\cup S_1$ 构成封闭曲面，方向为外侧。围成区域 $\Omega: x^2+y^2\le 1,\ 1\le z\le 2-x^2-y^2$。
公式：封闭曲面 $S\cup S_1$ 的外侧方向
提示：注意补面的方向必须与封闭区域的外侧一致，本题中底面应取向下（下侧）。
步骤 2/6
目标：应用高斯公式计算封闭曲面积分
设 $P=y^2-x,\ Q=z^2-y,\ R=x^2-z$，则
$$\frac{\partial P}{\partial x}=-1,\quad \frac{\partial Q}{\partial y}=-1,\quad \frac{\partial R}{\partial z}=-1$$
散度为 $-3$。由高斯公式：
$$\iint_{S\cup S_1} P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy = \iiint_\Omega (-3)\,dV = -3\cdot \text{Vol}(\Omega)$$
公式：高斯公式：$\iint_{\partial\Omega} Pdy\,dz+Qdz\,dx+Rdx\,dy = \iiint_\Omega (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})\,dV$
提示：计算偏导时注意符号，散度为常数可简化体积计算。
步骤 3/6
目标：计算区域 $\Omega$ 的体积
用柱坐标：$x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$，$z$ 从 $1$ 到 $2-r^2$，$r$ 从 $0$ 到 $1$。
$$\text{Vol}(\Omega)=\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_1^{2-r^2} r\,dz\,dr\,d\theta = 2\pi\int_0^1 r(1-r^2)\,dr = 2\pi\left[\frac{r^2}{2}-\frac{r^4}{4}\right]_0^1 = 2\pi\cdot\frac14 = \frac{\pi}{2}$$
公式：$\text{Vol}(\Omega)=\frac{\pi}{2}$
提示：注意 $z$ 的积分限：下界为 $1$，上界为 $2-r^2$，不要写反。
步骤 4/6
目标：计算封闭曲面积分值
由高斯公式：
$$\iint_{S\cup S_1} = -3\cdot\frac{\pi}{2} = -\frac{3\pi}{2}$$
公式：$\iint_{S\cup S_1} = -\frac{3\pi}{2}$
提示：体积计算正确后直接代入即可。
步骤 5/6
目标：计算底面 $S_1$ 的曲面积分
底面 $S_1: z=1$，取下侧。只有 $dx\,dy$ 项非零，且下侧对应 $dx\,dy$ 取负号：
$$\iint_{S_1} (x^2-z)\,dx\,dy = \iint_D (x^2-1)\cdot(-1)\,dx\,dy = \iint_D (1-x^2)\,dx\,dy$$
其中 $D: x^2+y^2\le 1$。用极坐标：
$$\iint_D (1-x^2)\,dx\,dy = \int_0^{2\pi}\int_0^1 (1-r^2\cos^2\theta)\,r\,dr\,d\theta = \int_0^{2\pi}\left(\frac12-\frac14\cos^2\theta\right)d\theta = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$$
公式：$\iint_{S_1} = \frac{3\pi}{4}$
提示：注意方向符号：下侧时 $dx\,dy$ 前加负号；$dy\,dz$ 和 $dz\,dx$ 在水平面上投影为零。
步骤 6/6
目标：由封闭曲面积分减去底面贡献得到原积分
由高斯公式：
$$\iint_S + \iint_{S_1} = -\frac{3\pi}{2}$$
所以
$$\iint_S = -\frac{3\pi}{2} - \frac{3\pi}{4} = -\frac{9\pi}{4}$$
公式：$\iint_S = -\frac{9\pi}{4}$
提示：注意移项时符号：封闭积分减去底面积分等于原积分，底面积分已算得正值。
步骤 7/7
目标：得到原曲面积分结果
原积分 $\iint_S$（上侧）等于封闭曲面外侧积分减去 $S_1$ 下侧积分：
$$
\iint_S = \iint_{S \cup S_1\text{外侧}} - \iint_{S_1\text{下侧}} = -\frac{3\pi}{2} - \frac{3\pi}{4} = -\frac{9\pi}{4}
$$
公式：$\iint_S = -\frac{9\pi}{4}$
提示：最终结果需化简，注意分数运算。
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