南京师范大学 2016年数学分析第0题

设内接长方体的顶点坐标为 $(\pm x, \pm y, \pm z)$，其中 $x>0, y>0, z>0$。长方体的长、宽、高分别为 $2x, 2y, 2z$，体积为 $V = 8xyz$。由于顶点在椭球面上，满足椭球方程 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$。问题转化为在约束条件 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ 下求 $V = 8xyz$ 的最大值。

构造拉格朗日函数 $L(x,y,z,\lambda) = 8xyz + \lambda\left(1 - \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2}\right)$。分别对 $x, y, z, \lambda$ 求偏导并令其为零： 1. $\frac{\partial L}{\partial x} = 8yz - \frac{2\lambda x}{a^2} = 0$，得 $\frac{4yz}{x} = \frac{\lambda}{a^2}$。 2. $\frac{\partial L}{\partial y} = 8xz - \frac{2\lambda y}{b^2} = 0$，得 $\frac{4xz}{y} = \frac{\lambda}{b^2}$。 3. $\frac{\partial L}{\partial z} = 8xy - \frac{2\lambda z}{c^2} = 0$，得 $\frac{4xy}{z} = \frac{\lambda}{c^2}$。 4. 约束条件 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$。

由 $\frac{4yz}{x} = \frac{\lambda}{a^2}$ 和 $\frac{4xz}{y} = \frac{\lambda}{b^2}$ 消去 $\lambda$：$\frac{4yz}{x} \cdot a^2 = \frac{4xz}{y} \cdot b^2$，两边除以 $4z$ 得 $\frac{y a^2}{x} = \frac{x b^2}{y}$，交叉相乘得 $y^2 a^2 = x^2 b^2$，即 $\frac{x^2}{a^2} = \frac{y^2}{b^2}$。 类似地，由 $\frac{4yz}{x} = \frac{\lambda}{a^2}$ 和 $\frac{4xy}{z} = \frac{\lambda}{c^2}$ 得 $\frac{z a^2}{x} = \frac{x c^2}{z}$，即 $\frac{x^2}{a^2} = \frac{z^2}{c^2}$。 因此有 $\frac{x^2}{a^2} = \frac{y^2}{b^2} = \frac{z^2}{c^2}$。

设公共值 $\frac{x^2}{a^2} = \frac{y^2}{b^2} = \frac{z^2}{c^2} = t$，代入椭球方程得 $t + t + t = 1$，即 $3t = 1$，解得 $t = \frac{1}{3}$。于是 $x = \frac{a}{\sqrt{3}}, y = \frac{b}{\sqrt{3}}, z = \frac{c}{\sqrt{3}}$。

将 $x, y, z$ 代入体积公式：$V_{\max} = 8 \cdot \frac{a}{\sqrt{3}} \cdot \frac{b}{\sqrt{3}} \cdot \frac{c}{\sqrt{3}} = \frac{8abc}{3\sqrt{3}}$。由于这是唯一驻点，且当 $x, y, z$ 趋于0或边界时体积趋于0，因此该值为最大值。

因此，当长方体的顶点在椭球上且各边平行于坐标轴，且边长比例为 $a:b:c$ 时，体积最大。最大体积为 $\boxed{\dfrac{8abc}{3\sqrt{3}}}$，此时长方体的顶点坐标为 $\left(\pm \dfrac{a}{\sqrt{3}}, \pm \dfrac{b}{\sqrt{3}}, \pm \dfrac{c}{\sqrt{3}}\right)$。

由于长方体顶点对称性，且问题存在最大值，此驻点即为最大值点。因此体积最大的内接长方体体积为 $\dfrac{8a^2 b^2 c^2}{(a^2 + b^2 + c^2)^{3/2}}$。