南京师范大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
2．给出函数 $s(x)$ 的可导范围．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析非零点处的可导性
对于 $x \neq 0$，函数 $s(x) = x^2 \sin\frac{1}{x}$ 是初等函数的复合，因此在其定义域内可导。利用乘积法则和链式法则求导：
\[ s'(x) = 2x \sin\frac{1}{x} + x^2 \cos\frac{1}{x} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = 2x \sin\frac{1}{x} - \cos\frac{1}{x} \]
所以 $x \neq 0$ 时函数可导。
公式：s'(x) = 2x \sin\frac{1}{x} - \cos\frac{1}{x}
提示：注意复合函数求导时，$\sin\frac{1}{x}$ 的导数为 $\cos\frac{1}{x} \cdot (-\frac{1}{x^2})$，不要遗漏负号。
步骤 2/4
目标：检查 x=0 处的可导性（使用导数定义）
在 $x=0$ 处，由于函数分段定义，需用导数定义：
\[ s'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{s(h) - s(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin\frac{1}{h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin\frac{1}{h} \]
因为 $|\sin\frac{1}{h}| \leq 1$，所以 $|h \sin\frac{1}{h}| \leq |h| \to 0$，由夹逼定理得极限为 $0$。
公式：\lim_{h \to 0} h \sin\frac{1}{h} = 0
提示：使用夹逼定理时，注意 $\sin\frac{1}{h}$ 振荡但始终有界，$h$ 趋于 $0$ 时乘积趋于 $0$。
步骤 3/4
目标：得出 x=0 处的可导性结论
由极限计算可知 $s'(0) = 0$，因此函数在 $x=0$ 处也可导，且导数值为 $0$。
公式：s'(0) = 0
提示：不要混淆可导与连续，这里通过定义直接验证了可导性。
步骤 4/4
目标：综合得出可导范围
由于 $x \neq 0$ 时函数可导，$x=0$ 时也可导，因此函数在整个实数集上每一点都可导。可导范围为全体实数。
公式：(-\infty, +\infty)
提示：注意可导范围是开区间还是闭区间，这里全体实数通常写作 $(-\infty, +\infty)$。
步骤 5/5
目标：确定可导范围
除去不可导点 $x=0$，其余点均可导，因此可导范围为 $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$。
公式：$(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$
提示：可导范围通常用区间表示，注意端点是否包含。
步骤 6/6
目标：综合得出可导范围
除去两个不可导点 $x=1$ 和 $x=2$，函数在全体实数上可导的区间为：
$$(-\infty, 1) \cup (1, 2) \cup (2, +\infty)$$
公式：$\mathbb{R} \setminus \{1, 2\}$
提示：可导范围通常用区间并集表示，注意端点是否包含取决于该点是否可导。
步骤 7/7
目标：给出最终答案
由于题目未给出 $s(x)$ 的具体形式，无法给出确切的可导范围。通常，可导范围是函数定义域内所有可导点的集合。若 $s(x)$ 为初等函数，则在其定义域内通常可导，但需注意分段函数在分段点处的可导性需单独判断。
提示：答案应强调需要具体函数才能确定。
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