南京师范大学 2016年数学分析第0题

考虑级数 \( s(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{-n x}}{n^{2}} \)。对于固定的实数 \( x \)，通项为 \( a_n(x) = \frac{2^{-nx}}{n^2} \)。 - 若 \( x > 0 \)，则 \( 2^{-x} < 1 \)，\( 2^{-nx} = (2^{-x})^n \) 随 \( n \) 指数衰减，而分母 \( n^2 \) 保证收敛，故级数绝对收敛。 - 若 \( x = 0 \)，则 \( 2^{-n \cdot 0} = 1 \)，级数化为 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)，该 \( p \)-级数（\( p=2>1 \)）收敛。 - 若 \( x < 0 \)，则 \( 2^{-x} > 1 \)，通项 \( 2^{-nx} \) 指数增长，级数发散。 因此，级数的收敛域为 \( x \ge 0 \)。

取任意闭区间 \( [a, b] \subset [0, +\infty) \)，其中 \( a \ge 0 \)。当 \( x \in [a, b] \) 时，有 \( 0 < 2^{-nx} \le 2^{-na} \)。于是 \[ \left| \frac{2^{-nx}}{n^2} \right| \le \frac{2^{-na}}{n^2}. \] 由于 \( a \ge 0 \)，\( 2^{-a} \le 1 \)，数项级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{-na}}{n^2} \) 收敛（比较判别法，因 \( \frac{2^{-na}}{n^2} \le \frac{1}{n^2} \)）。由 Weierstrass M-判别法，原级数在 \( [a, b] \) 上一致收敛。 每个通项 \( \frac{2^{-nx}}{n^2} \) 关于 \( x \) 连续，一致收敛的级数和函数在区间上连续。由于 \( [a, b] \) 任意，\( s(x) \) 在 \( [0, +\infty) \) 上内闭一致收敛，从而 \( s(x) \) 在 \( [0, +\infty) \) 上连续。

对级数形式求导： \[ s'(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty} \frac{d}{dx} \left( \frac{2^{-nx}}{n^2} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{-n \ln 2 \cdot 2^{-nx}}{n^2} = -\ln 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{-nx}}{n}. \] 对于任意 \( \delta > 0 \)，在区间 \( [\delta, +\infty) \) 上，有 \[ \left| \frac{2^{-nx}}{n} \right| \le \frac{2^{-n\delta}}{n}. \] 由于 \( 2^{-\delta} < 1 \)，级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{-n\delta}}{n} \) 收敛（可用比值判别法或根值判别法验证）。由 Weierstrass M-判别法，求导后的级数在 \( [\delta, +\infty) \) 上一致收敛。 因此，原级数在 \( x > 0 \) 时可逐项求导，且导函数 \( s'(x) = -\ln 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{-nx}}{n} \) 在 \( (0, +\infty) \) 上连续。注意在 \( x=0 \) 处，求导后的级数发散（因为 \( \sum 1/n \) 发散），故 \( s(x) \) 在 \( x=0 \) 处不可导。

1. 当 \( x = 0 \) 时： \[ s(0) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}. \] 这是著名的 Basel 问题结果。 2. 当 \( x = 1 \) 时： \[ s(1) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{-n}}{n^2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1/2)^n}{n^2}. \] 该级数可表示为多重对数函数 \( \operatorname{Li}_2(z) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n^2} \) 在 \( z = 1/2 \) 处的值。已知恒等式 \[ \operatorname{Li}_2\left(\frac12\right) = \frac{\pi^2}{12} - \frac{1}{2}(\ln 2)^2. \] 因此 \( s(1) = \frac{\pi^2}{12} - \frac{(\ln 2)^2}{2} \)。

综合以上分析，函数 \( s(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{-n x}}{n^{2}} \) 具有以下性质： - 定义域为 \( [0, +\infty) \)； - 在 \( [0, +\infty) \) 上连续； - 在 \( (0, +\infty) \) 上可导，且导函数 \( s'(x) = -\ln 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{-nx}}{n} \) 连续； - 特殊值：\( s(0) = \pi^2/6 \)，\( s(1) = \pi^2/12 - (\ln 2)^2/2 \)。 这些性质为后续可能的积分、不等式估计或渐近分析提供了基础。