南京师范大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
1． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}+\cdots+\sqrt[n]{n}}{n}$ ；
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将求和表达式转化为极限形式
将原极限写成和的形式：
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}+\cdots+\sqrt[n]{n}}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \sqrt[k]{k}
\]
其中 \(\sqrt[k]{k} = k^{1/k}\)。
公式：\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n k^{1/k}
提示：注意求和从k=1开始，每一项是k的k次根。
步骤 2/5
目标：分析通项k^{1/k}的极限行为
考虑 \(k^{1/k}\) 当 \(k \to \infty\) 时的趋势。取自然对数：
\[
\ln(k^{1/k}) = \frac{\ln k}{k} \to 0 \quad (k \to \infty)
\]
因此 \(k^{1/k} \to e^0 = 1\)。但每一项趋近于1并不直接保证平均值极限为1，需要进一步论证。
公式：\lim_{k \to \infty} k^{1/k} = 1
提示：这里只是初步观察，不能直接代入平均值，因为需要处理无穷项的平均收敛性。
步骤 3/5
目标：应用Stolz定理（离散洛必达法则）
令 \(a_n = \sum_{k=1}^n k^{1/k}\)，\(b_n = n\)。由于 \(b_n\) 单调递增趋于无穷，Stolz定理给出：
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n - a_{n-1}}{b_n - b_{n-1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{1/n}}{1}
\]
这里 \(a_n - a_{n-1} = n^{1/n}\)。
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{\sum_{k=1}^n k^{1/k}}{n} = \lim_{n\to\infty} n^{1/n}
提示：Stolz定理适用于分子分母均趋于无穷或零的情况，这里分母n趋于无穷，分子也趋于无穷（因为每项接近1），满足条件。
步骤 4/5
目标：计算极限lim_{n→∞} n^{1/n}
计算 \(\lim_{n \to \infty} n^{1/n}\)。取对数：
\[
\ln(n^{1/n}) = \frac{\ln n}{n} \to 0 \quad (n \to \infty)
\]
因此 \(n^{1/n} \to e^0 = 1\)。
公式：\lim_{n \to \infty} n^{1/n} = 1
提示：常用结论：n^{1/n}的极限为1，可通过取对数或夹逼定理证明。
步骤 5/5
目标：得出原极限结果
由Stolz定理和上一步结果，原极限等于 \(\lim_{n \to \infty} n^{1/n} = 1\)。因此：
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}+\cdots+\sqrt[n]{n}}{n} = 1
\]
公式：\boxed{1}
提示：最终答案简洁，但需注意Stolz定理的使用条件是否满足。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。