南京师范大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
2． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\sin x)^{\frac{1}{1+\ln x}}$ ；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析极限类型
当 $x \to 0^{+}$ 时，$\sin x \to 0^{+}$，而 $1+\ln x \to -\infty$，因此指数 $\frac{1}{1+\ln x} \to 0^{-}$。原极限是 $0^{0}$ 型不定式（底数趋于0，指数趋于0）。
公式：\lim_{x \to 0^{+}} (\sin x)^{\frac{1}{1+\ln x}}
提示：注意指数是负的趋近于0，但仍是0^{0}型，需用取对数法处理。
步骤 2/5
目标：取对数转化为等价极限
设 $y = (\sin x)^{\frac{1}{1+\ln x}}$，两边取自然对数：$\ln y = \frac{1}{1+\ln x} \cdot \ln(\sin x)$。先求 $\lim_{x \to 0^{+}} \ln y$，再还原得原极限。
公式：\ln y = \frac{\ln(\sin x)}{1+\ln x}
提示：取对数后极限类型变为 $\frac{-\infty}{-\infty}$ 型，可进一步化简。
步骤 3/5
目标：利用等价无穷小化简
当 $x \to 0^{+}$ 时，$\sin x \sim x$，因此 $\ln(\sin x) \sim \ln x$。于是 $\ln y \sim \frac{\ln x}{1+\ln x}$。
公式：\ln(\sin x) \sim \ln x \quad (x \to 0^{+})
提示：等价无穷小替换时注意 $\ln(\sin x)$ 和 $\ln x$ 都趋于 $-\infty$，替换后极限不变。
步骤 4/5
目标：变量代换求极限
令 $t = \ln x$，则当 $x \to 0^{+}$ 时，$t \to -\infty$。于是 $\ln y = \frac{t}{1+t}$。计算极限：$\lim_{t \to -\infty} \frac{t}{1+t} = \lim_{t \to -\infty} \frac{1}{1+\frac{1}{t}} = 1$。
公式：\lim_{t \to -\infty} \frac{t}{1+t} = 1
提示：分子分母同除以 $t$ 后，注意 $\frac{1}{t} \to 0$，极限为1。
步骤 5/5
目标：还原得到原极限
因为 $\lim_{x \to 0^{+}} \ln y = 1$，所以 $\lim_{x \to 0^{+}} y = e^{1} = e$。
公式：\lim_{x \to 0^{+}} (\sin x)^{\frac{1}{1+\ln x}} = e
提示：取对数后极限存在且为有限值，则原极限为 $e^{\text{该极限}}$。
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