南京师范大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
3．计算积分 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{1-\sin 2 x}{1+\sin 2 x} d x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：化简被积函数
利用恒等式 $(\sin x \pm \cos x)^2 = 1 \pm \sin 2x$，将被积函数化为平方形式：
$$
\frac{1-\sin 2x}{1+\sin 2x} = \frac{(\sin x - \cos x)^2}{(\sin x + \cos x)^2} = \left( \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x} \right)^2
$$
公式：(\sin x \pm \cos x)^2 = 1 \pm \sin 2x
提示：注意验证恒等式，避免符号错误。
步骤 2/6
目标：进一步化简为三角函数形式
利用正切的和差公式：
$$
\frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x} = \frac{\tan x - 1}{\tan x + 1} = \tan\left(x - \frac{\pi}{4}\right)
$$
因此被积函数化为：
$$
\frac{1-\sin 2x}{1+\sin 2x} = \tan^2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)
$$
公式：\tan(a-b) = \frac{\tan a - \tan b}{1+\tan a \tan b}
提示：注意 $\tan(\pi/4)=1$，代入公式时需小心。
步骤 3/6
目标：换元并识别瑕点
令 $u = x - \frac{\pi}{4}$，则 $dx = du$，积分限变为 $u$ 从 $-\frac{\pi}{4}$ 到 $\frac{3\pi}{4}$。原积分化为：
$$
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} \tan^2 u \, du
$$
注意：当 $u = \frac{\pi}{2}$ 时，$\tan u$ 发散，对应 $x = \frac{3\pi}{4}$，此处分母 $1+\sin 2x = 0$，因此积分是瑕积分，需分段处理。
公式：u = x - \frac{\pi}{4}
提示：换元后必须检查新积分区间内是否有瑕点，$u=\pi/2$ 是被积函数的奇点。
步骤 4/6
目标：分段处理瑕积分
将积分在瑕点 $u = \frac{\pi}{2}$ 处分开：
$$
\int_{-\pi/4}^{3\pi/4} \tan^2 u \, du = \int_{-\pi/4}^{\pi/2} \tan^2 u \, du + \int_{\pi/2}^{3\pi/4} \tan^2 u \, du
$$
每个积分均为广义积分，需分别考察收敛性。
公式：\int_a^b f(u)du = \int_a^c f(u)du + \int_c^b f(u)du \quad (c \text{ 为瑕点})
提示：分段时注意瑕点应作为积分限处理，不能直接代入原函数计算。
步骤 5/6
目标：分析积分收敛性
利用恒等式 $\tan^2 u = \sec^2 u - 1$，则原函数为 $\tan u - u$。在 $u \to \frac{\pi}{2}^-$ 时，$\tan u \to +\infty$；在 $u \to \frac{\pi}{2}^+$ 时，$\tan u \to -\infty$。因此积分
$$
\int_{-\pi/4}^{\pi/2} \tan^2 u \, du \quad \text{和} \quad \int_{\pi/2}^{3\pi/4} \tan^2 u \, du
$$
均发散（因为 $\tan u$ 在瑕点附近发散速度如 $\frac{1}{\pi/2 - u}$，平方后积分发散）。
公式：\tan^2 u \sim \frac{1}{(\pi/2 - u)^2} \quad (u \to \pi/2)
提示：不要误以为对称性可抵消发散，此处平方项导致正无穷大发散，不可积。
步骤 6/6
目标：得出结论
由于瑕积分在 $u = \frac{\pi}{2}$ 处发散，原积分不收敛。因此积分值为发散。
提示：最终答案应明确说明积分发散，而非给出有限数值。
步骤 7/8
目标：计算每个积分
$\int \sec^2 2x dx = \frac{1}{2}\tan 2x$，$\int \sec 2x \tan 2x dx = \frac{1}{2}\sec 2x$，$\int 1 dx = x$。代入上下限：$2 \cdot \frac{1}{2}[\tan 2x]_0^\pi - 2 \cdot \frac{1}{2}[\sec 2x]_0^\pi - [x]_0^\pi = [\tan 2x]_0^\pi - [\sec 2x]_0^\pi - \pi$。
公式：$\int \sec^2 ax dx = \frac{1}{a}\tan ax$，$\int \sec ax \tan ax dx = \frac{1}{a}\sec ax$
提示：注意积分公式中的系数 $\frac{1}{2}$。
步骤 8/8
目标：代入上下限并得出结果
$\tan 2\pi = 0$，$\tan 0 = 0$，$\sec 2\pi = 1$，$\sec 0 = 1$，所以 $[0-0] - [1-1] - \pi = -\pi$。
提示：注意 $\sec 2\pi = \frac{1}{\cos 2\pi} = 1$，不要误算为 $0$。
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