南京师范大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
七、（15 分）设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y}{x^{4}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ ，证明
（1）．$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处任意方向的方向导数都存在；
（2）．$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处不可微。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确方向导数的定义，并代入函数表达式
对于点 $(0,0)$，任意方向用单位向量 $(\cos\theta, \sin\theta)$ 表示。方向导数的定义为：
$$ D_{\mathbf{u}} f(0,0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(t\cos\theta, t\sin\theta) - f(0,0)}{t} $$
由于 $f(0,0)=0$，代入函数表达式（$t \neq 0$ 时）：
$$ f(t\cos\theta, t\sin\theta) = \frac{(t\cos\theta)^2 (t\sin\theta)}{(t\cos\theta)^4 + (t\sin\theta)^2} = \frac{t^3 \cos^2\theta \sin\theta}{t^4 \cos^4\theta + t^2 \sin^2\theta} $$
分子分母同时提取 $t^2$：
$$ = \frac{t \cos^2\theta \sin\theta}{t^2 \cos^4\theta + \sin^2\theta} $$
于是方向导数为：
$$ D_{\mathbf{u}} f(0,0) = \lim_{t\to 0} \frac{\cos^2\theta \sin\theta}{t^2 \cos^4\theta + \sin^2\theta} $$
公式：D_{\mathbf{u}} f(0,0) = \lim_{t\to 0} \frac{\cos^2\theta \sin\theta}{t^2 \cos^4\theta + \sin^2\theta}
提示：注意方向导数的定义中分母是 t，而不是 t 的绝对值，且要区分 t 的正负，但此处极限与符号无关。
步骤 2/5
目标：分情况讨论方向导数的极限是否存在
考虑两种情况：
- 若 $\sin\theta = 0$，即方向沿 x 轴，则分子为 0，极限为 0。
- 若 $\sin\theta \neq 0$，则分母在 $t\to 0$ 时趋于 $\sin^2\theta > 0$，因此极限为：
$$ \frac{\cos^2\theta \sin\theta}{\sin^2\theta} = \frac{\cos^2\theta}{\sin\theta} $$
该极限为有限值，故对任意方向，方向导数都存在。
公式：D_{\mathbf{u}} f(0,0) = \begin{cases} 0, & \sin\theta = 0 \\ \frac{\cos^2\theta}{\sin\theta}, & \sin\theta \neq 0 \end{cases}
提示：不要忘记 $\sin\theta = 0$ 的情况，此时方向导数恒为 0，但沿其他方向的值可能不同，说明方向导数与方向有关。
步骤 3/5
目标：计算偏导数，为证明不可微做准备
由偏导数定义：
$$ f_x(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(h,0) - 0}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{0}{h} = 0 $$
$$ f_y(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(0,h) - 0}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{0}{h} = 0 $$
因此两个偏导数均为 0。如果函数在原点可微，则必须满足：
$$ \lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{f(x,y) - f(0,0) - f_x(0,0)x - f_y(0,0)y}{\sqrt{x^2+y^2}} = \lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0 $$
公式：f_x(0,0)=0,\quad f_y(0,0)=0
提示：偏导数存在是可微的必要条件，但不是充分条件，还需要验证全微分的定义是否成立。
步骤 4/5
目标：选取特殊路径检验可微性条件
取路径 $y = x^2$，当 $x\to 0$ 时，$(x,y)\to (0,0)$。计算：
$$ f(x, x^2) = \frac{x^2 \cdot x^2}{x^4 + x^4} = \frac{x^4}{2x^4} = \frac{1}{2} $$
而 $\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{x^2 + x^4} \sim |x|$（当 $x\to 0$ 时），因此：
$$ \frac{f(x,x^2)}{\sqrt{x^2+x^4}} \sim \frac{1/2}{|x|} \to \infty $$
该极限不趋于 0，故可微性条件不成立。
公式：\lim_{x\to 0} \frac{f(x,x^2)}{\sqrt{x^2+x^4}} = \infty \neq 0
提示：选择路径 $y=x^2$ 是关键，因为分母 $x^4+y^2$ 在该路径上变为 $2x^4$，与分子 $x^4$ 同阶，导致比值不为零。注意 $\sqrt{x^2+y^2}$ 是 $|x|$ 的同阶无穷小，因此整体趋于无穷。
步骤 5/5
目标：总结结论
（1）由第二步可知，对任意方向单位向量 $(\cos\theta,\sin\theta)$，方向导数都存在，且表达式为分段形式。
（2）由第四步可知，沿路径 $y=x^2$ 时，$\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 不趋于 0，因此函数在原点不可微。
公式：不可微的判定：\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}} \neq 0
提示：注意方向导数存在并不能推出可微，本题正是反例：所有方向导数都存在，但函数不可微。
步骤 6/6
目标：总结不可微结论
由于存在路径使得 $f(x,y)$ 不满足可微定义中的高阶无穷小条件，因此函数 $f(x,y)$ 在原点 $(0,0)$ 处不可微。
公式：$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-f(0,0)-f_x(0,0)x-f_y(0,0)y}{\sqrt{x^2+y^2}}\neq 0$$
提示：不可微的常见证法是找一个路径使差商极限不为0或不存在。
步骤 7/8
目标：选取特殊路径证明极限不为0
取路径 $k = h^2$，则
$$\frac{h^2 \cdot h^2}{(h^4 + h^4)\sqrt{h^2+h^4}} = \frac{h^4}{2h^4 |h|\sqrt{1+h^2}} = \frac{1}{2|h|\sqrt{1+h^2}} \to \infty \quad (h \to 0).$$
提示：注意$h$趋近0时，分母有$|h|$，导致极限无穷大。
步骤 8/8
目标：结论：函数不可微
因此极限不为0，与可微条件矛盾，故 $f$ 在 $(0,0)$ 处不可微。
提示：注意方向导数存在是可微的必要条件，但不是充分条件。
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