南京师范大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
三、（15 分）（1）举例说明：有界可微函数的导函数不一定有界；
（2）证明：有限开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内的无界可微函数 $\displaystyle f(x)$ 的导函数必定无界．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：举例说明有界可微函数的导函数不一定有界
考虑函数 $f(x) = \sin(x^2)$，定义在 $\mathbb{R}$ 上。该函数满足 $|f(x)| \le 1$，因此有界；且 $f$ 可微，因为它是初等函数的复合。求导得 $f'(x) = 2x \cos(x^2)$。取序列 $x_n = \sqrt{2n\pi}$，则 $\cos(x_n^2) = \cos(2n\pi) = 1$，于是 $|f'(x_n)| = 2\sqrt{2n\pi} \to +\infty$ 当 $n \to \infty$，故导函数无界。
公式：$f(x) = \sin(x^2)$, $f'(x) = 2x \cos(x^2)$
提示：注意选取合适的点列使得余弦部分取到1，从而放大导数的绝对值。
步骤 2/2
目标：证明有限开区间内无界可微函数的导函数必定无界
采用反证法。假设 $f$ 在 $(a,b)$ 上可微且无界，但 $f'$ 有界，即存在 $M>0$ 使得 $|f'(x)| \le M$ 对所有 $x \in (a,b)$ 成立。取定一点 $c \in (a,b)$，由拉格朗日中值定理，对任意 $x \in (a,b)$，存在介于 $c$ 与 $x$ 之间的 $\xi$，使得 $f(x)-f(c)=f'(\xi)(x-c)$。于是 $|f(x)| \le |f(c)| + |f'(\xi)||x-c| \le |f(c)| + M(b-a)$。由于 $|f(c)|$ 和 $M(b-a)$ 均为有限常数，故 $f$ 在 $(a,b)$ 上有界，与题设矛盾。因此 $f'$ 无界。
公式：$|f(x)| \le |f(c)| + M(b-a)$
提示：注意拉格朗日中值定理要求函数在闭区间上连续、开区间内可导，这里对任意 $x$ 可考虑以 $c$ 和 $x$ 为端点的闭区间，由于 $f$ 在 $(a,b)$ 上可微，自动满足条件。
步骤 3/5
目标：反证法假设导函数有界
假设 $f'(x)$ 在 $(a,b)$ 上有界，即存在常数 $M > 0$，使得对任意 $x \in (a,b)$，有 $|f'(x)| \leq M$。
公式：$|f'(x)| \leq M, \quad \forall x \in (a,b)$
提示：反证法的关键是假设与结论相反，然后推出矛盾。
步骤 4/5
目标：利用拉格朗日中值定理估计函数值的差
取区间内任意一点 $c \in (a,b)$。对于任意 $x \in (a,b)$，由拉格朗日中值定理，存在介于 $x$ 与 $c$ 之间的 $\xi$，使得 $f(x) - f(c) = f'(\xi)(x-c)$。于是 $|f(x) - f(c)| = |f'(\xi)| \cdot |x-c| \leq M |x-c|$。
公式：$f(x) - f(c) = f'(\xi)(x-c), \quad |f(x)-f(c)| \leq M|x-c|$
提示：中值定理要求函数在闭区间连续、开区间可导，这里 $(a,b)$ 内任意两点构成的闭区间满足条件。
步骤 5/5
目标：推导出函数有界，与已知矛盾
由于区间 $(a,b)$ 有限，其长度 $L = b-a$ 为有限数。对任意 $x \in (a,b)$，有 $|x-c| \leq L$，因此 $|f(x)| \leq |f(c)| + M L$。这说明 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上有界（上界为 $|f(c)|+ML$），与题设“$f$ 在 $(a,b)$ 上无界”矛盾。故假设不成立，$f'$ 必定无界。
公式：$|f(x)| \leq |f(c)| + M(b-a)$
提示：关键点：有限区间保证了 $|x-c|$ 有统一上界，从而导出矛盾。
步骤 6/6
目标：得出矛盾并完成证明
上述结论与题设“$f$ 在 $(a,b)$ 上无界”矛盾，故假设不成立。因此导函数 $f'$ 在 $(a,b)$ 上必定无界。
提示：反证法的核心是导出与已知条件矛盾的结论。
步骤 7/7
目标：得出结论（2）
因此假设不成立，$f'$ 在 $(a,b)$ 内无界。
提示：结论是导函数必定无界。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。