南京师范大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
九、（15 分）计算曲面积分 $\displaystyle I=\iint_{S} 4 x z d y d z-2 y z d z d x+\left(1-z^{2 x}\right) d x d y$ 。其中 $S$ 为曲线 $\displaystyle z=e^{y}(0 \leq y \leq a)$
绕 $z$ 轴旋转一周生成的旋转曲面，并取上侧。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确曲面方程与方向
曲线为 $z = e^y$，$0 \le y \le a$，绕 $z$ 轴旋转。在高度 $z$ 处，$y = \ln z$，旋转半径为 $y$，故曲面方程为 $\sqrt{x^2 + y^2} = \ln z$，即 $z = e^{\sqrt{x^2 + y^2}}$，其中 $0 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le a$。曲面取上侧，法向量与 $z$ 轴正向成锐角。
公式：$z = e^{\sqrt{x^2 + y^2}}, \quad 0 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le a$
提示：注意旋转曲面的参数对应关系：原曲线上的 $y$ 成为旋转后的半径 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$。
步骤 2/5
目标：补面构造封闭曲面，应用高斯公式
曲面 $S$ 不封闭，补上底面 $S_1: z = 1, x^2 + y^2 \le a^2$（取下侧）和顶面 $S_2: z = e^a, x^2 + y^2 \le a^2$（取上侧），构成封闭曲面外侧。设 $P = 4xz, Q = -2yz, R = 1 - z^2$（原题 $z^{2x}$ 疑为印刷错误，按常规修正为 $z^2$），则散度 $\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = 4z - 2z - 2z = 0$。由高斯公式，封闭曲面总积分为 $0$。
公式：$\iiint_V \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV = 0$
提示：高斯公式要求封闭曲面外侧，补面方向需与封闭区域外侧一致。
步骤 3/5
目标：计算底面 $S_1$ 的积分
底面 $S_1: z = 1$，取下侧，故 $dy\,dz$ 和 $dz\,dx$ 项在水平面上投影为 $0$，仅 $R\,dx\,dy$ 项贡献：$\iint_{S_1} (1 - z^2) dx\,dy = \iint_{x^2 + y^2 \le a^2} (1 - 1) dx\,dy = 0$。
公式：$\iint_{S_1} R\,dx\,dy = 0$
提示：下侧取负号，但被积函数为 $0$，结果仍为 $0$。
步骤 4/5
目标：计算顶面 $S_2$ 的积分
顶面 $S_2: z = e^a$，取上侧，$dy\,dz$ 和 $dz\,dx$ 项投影为 $0$，$R\,dx\,dy$ 项：$\iint_{S_2} (1 - z^2) dx\,dy = \iint_{x^2 + y^2 \le a^2} (1 - e^{2a}) dx\,dy = (1 - e^{2a}) \cdot \pi a^2$。
公式：$\iint_{S_2} R\,dx\,dy = \pi a^2 (1 - e^{2a})$
提示：上侧为正，直接投影计算面积。
步骤 5/5
目标：由封闭曲面总积分为 $0$ 反求原积分
封闭曲面总积分 $\iint_{S + S_1 + S_2} = 0$，故原积分 $I = - \left( \iint_{S_1} + \iint_{S_2} \right) = - \left( 0 + \pi a^2 (1 - e^{2a}) \right) = \pi a^2 (e^{2a} - 1)$。
公式：$I = \pi a^2 (e^{2a} - 1)$
提示：注意符号：补面方向与封闭区域外侧一致，原曲面方向已包含在总积分中。
步骤 6/6
目标：合并结果得到最终积分值
三项积分分别为：
1. $(-2\pi) \cdot \left(\frac{1}{2}a^2 e^{2a} - \frac{1}{2}a e^{2a} + \frac{1}{4}e^{2a} - \frac{1}{4}\right) = -\pi a^2 e^{2a} + \pi a e^{2a} - \frac{\pi}{2}e^{2a} + \frac{\pi}{2}$
2. $2\pi \cdot \frac{1}{2}a^2 = \pi a^2$
3. $-2\pi \cdot \left(\frac{1}{2}a e^{2a} - \frac{1}{4}e^{2a} + \frac{1}{4}\right) = -\pi a e^{2a} + \frac{\pi}{2}e^{2a} - \frac{\pi}{2}$
相加得：$I = (-\pi a^2 e^{2a} + \pi a e^{2a} - \frac{\pi}{2}e^{2a} + \frac{\pi}{2}) + \pi a^2 + (-\pi a e^{2a} + \frac{\pi}{2}e^{2a} - \frac{\pi}{2})$。
合并同类项：
- $e^{2a}$ 项：$-\pi a^2 e^{2a} + \pi a e^{2a} - \pi a e^{2a} - \frac{\pi}{2}e^{2a} + \frac{\pi}{2}e^{2a} = -\pi a^2 e^{2a}$
- 常数项：$\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = 0$
- $\pi a^2$ 项：$\pi a^2$
所以 $I = \pi a^2 - \pi a^2 e^{2a} = \pi a^2 (1 - e^{2a})$。
公式：I = \pi a^2 (1 - e^{2a})
提示：注意合并时正负号要仔细，最终结果简洁。
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