南京师范大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
二、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [a, b]$ 上一个非常数的连续函数，$\displaystyle M, m$ 分别是其最大值和最小值．求证：存在 $\displaystyle [\alpha, \beta] \subset[a, b]$ ，使得 $\displaystyle x \in[\alpha, \beta]$ 时，$\displaystyle m<f(x)<M$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题意并明确已知条件
已知 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续且非常数，因此最大值 $M$ 与最小值 $m$ 满足 $M > m$。需要证明存在一个子区间 $[\alpha, \beta] \subset [a,b]$，使得对任意 $x \in [\alpha, \beta]$，都有 $m < f(x) < M$，即函数值严格介于最值之间。
公式：M = \max_{x \in [a,b]} f(x), \quad m = \min_{x \in [a,b]} f(x), \quad M > m
提示：注意函数非常数这一条件保证了 $M \neq m$，否则若 $M=m$ 则函数为常数，结论不成立。
步骤 2/5
目标：找出取到最值的点
由闭区间上连续函数的性质，存在 $x_1, x_2 \in [a,b]$ 使得 $f(x_1) = M$，$f(x_2) = m$。由于函数非常数，$x_1 \neq x_2$（否则函数恒为常数）。
公式：f(x_1) = M, \quad f(x_2) = m, \quad x_1 \neq x_2
提示：最值点可能不止一个，但只需各取一个即可。
步骤 3/5
目标：利用介值定理构造中间值点
由于 $f$ 连续且 $M > m$，由介值定理，在 $x_1$ 与 $x_2$ 之间的区间上，函数可取到 $m$ 与 $M$ 之间的任意值。取 $c$ 满足 $m < c < M$，则存在 $x_0$ 介于 $x_1$ 与 $x_2$ 之间，使得 $f(x_0) = c$。
公式：\exists x_0 \in (\min\{x_1,x_2\}, \max\{x_1,x_2\}), \quad f(x_0) = c, \quad m < c < M
提示：介值定理要求区间端点函数值不同，这里 $f(x_1)=M$ 与 $f(x_2)=m$ 恰好满足。
步骤 4/5
目标：利用连续性得到开邻域
因为 $f$ 在 $x_0$ 处连续，且 $f(x_0)=c$ 满足 $m 0$。由连续性定义，存在 $\delta > 0$，使得当 $|x - x_0| < \delta$ 时，有 $|f(x) - c| < \varepsilon$。由此推出 $m < f(x) < M$ 对所有满足 $|x - x_0| < \delta$ 的 $x$ 成立。
公式：\varepsilon = \min\{c-m, M-c\} > 0, \quad \exists \delta>0, \forall x \in (x_0-\delta, x_0+\delta): |f(x)-c|<\varepsilon \Rightarrow m
提示：注意 $\varepsilon$ 的取法保证了 $c-\varepsilon \ge m$ 且 $c+\varepsilon \le M$，从而严格不等式成立。
步骤 5/5
目标：构造闭子区间并完成证明
取 $\alpha = \max\{a, x_0 - \delta/2\}$，$\beta = \min\{b, x_0 + \delta/2\}$，则 $[\alpha, \beta] \subset [a,b]$ 且区间长度大于0。对任意 $x \in [\alpha, \beta]$，有 $|x - x_0| \le \delta/2 < \delta$，因此 $m < f(x) < M$ 成立。这就证明了存在这样的子区间。
公式：[\alpha, \beta] \subset [a,b], \quad \forall x \in [\alpha, \beta]: m < f(x) < M
提示：取 $\delta/2$ 是为了确保闭区间完全落在开邻域内，避免端点恰好落在边界上。
步骤 6/6
目标：总结结论
综上，总存在 $[\alpha, \beta] \subset [a,b]$ 使得对任意 $x \in [\alpha, \beta]$ 有 $m < f(x) < M$。
提示：注意区间 $[\alpha, \beta]$ 是闭区间，且严格包含于 $[a,b]$。
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