南京师范大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
五、 $\displaystyle \left(15\right.$ 分）$\displaystyle f(x) \in C[0,1]$ ，且 $\displaystyle |f(x)| \geq 1+\frac{1}{2} \int_{0}^{x} t|f(t)| d t, x \in[0,1]$ ．证明： $\displaystyle \ln |f(x)| \geq \frac{x^{2}}{4}, x \in[0,1]$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解条件并转化形式
已知 $f(x) \in C[0,1]$，且 $|f(x)| \geq 1 + \frac{1}{2} \int_0^x t |f(t)| \, dt$，$x \in [0,1]$。由于 $f(x)$ 连续，$|f(x)|$ 也连续，且右边为正，故 $|f(x)| > 0$。令 $g(x) = |f(x)|$，则条件化为 $g(x) \geq 1 + \frac{1}{2} \int_0^x t g(t) \, dt$。
公式：$g(x) \geq 1 + \frac{1}{2} \int_0^x t g(t) \, dt$
提示：注意 $g(x)$ 的正性，为后续取对数做准备。
步骤 2/4
目标：构造辅助函数并利用积分不等式
定义 $h(x) = 1 + \frac{1}{2} \int_0^x t g(t) \, dt$，则 $h(0)=1$，且 $h(x)$ 可导，导数为 $h'(x) = \frac{1}{2} x g(x)$。由 $g(x) \geq h(x)$ 得 $h'(x) \geq \frac{1}{2} x h(x)$。
公式：$h'(x) \geq \frac{1}{2} x h(x)$
提示：利用 $g(x) \geq h(x)$ 将 $g$ 替换为 $h$ 得到微分不等式。
步骤 3/4
目标：解微分不等式
将不等式 $h'(x) - \frac{x}{2} h(x) \geq 0$ 两边乘以积分因子 $e^{-\int \frac{x}{2} dx} = e^{-x^2/4}$，得到 $\frac{d}{dx} \left( h(x) e^{-x^2/4} \right) \geq 0$。因此 $h(x) e^{-x^2/4}$ 在 $[0,1]$ 上单调不减。由 $h(0)=1$ 得 $h(x) e^{-x^2/4} \geq 1$，即 $h(x) \geq e^{x^2/4}$。
公式：$\frac{d}{dx} \left( h(x) e^{-x^2/4} \right) \geq 0$，$h(x) \geq e^{x^2/4}$
提示：注意积分因子的正确形式，以及单调性推导的细节。
步骤 4/4
目标：回到原函数并取对数
由于 $g(x) \geq h(x) \geq e^{x^2/4}$，且 $g(x) > 0$，两边取自然对数得 $\ln g(x) \geq \frac{x^2}{4}$。而 $g(x) = |f(x)|$，故 $\ln |f(x)| \geq \frac{x^2}{4}$，$x \in [0,1]$。
公式：$\ln |f(x)| \geq \frac{x^2}{4}$
提示：取对数时确保自变量为正，此处已由条件保证。
步骤 5/5
目标：回到原不等式并取对数
由条件 $|f(x)| \ge 1 + \frac{1}{2} g(x) \ge 1 + \frac{1}{2} \cdot 2(e^{x^2/4} - 1) = e^{x^2/4}$，两边取自然对数得 $\ln |f(x)| \ge \frac{x^2}{4}$，对一切 $x \in [0,1]$ 成立。
公式：$\ln |f(x)| \ge \frac{x^2}{4}$
提示：取对数时注意 $|f(x)| > 0$ 已由条件保证。
步骤 6/7
目标：代入原不等式得到 $g(x)$ 的下界
由 $g(x) \geq 1 + \frac{1}{2} h(x) \geq 1 + \frac{1}{2} \cdot 2(e^{x^2/4} - 1) = e^{x^2/4}$。
提示：注意 $h(x)$ 下界代入后化简。
步骤 7/7
目标：取对数得到结论
因此 $\ln |f(x)| = \ln g(x) \geq \ln e^{x^2/4} = \frac{x^2}{4}$，对 $x \in [0,1]$ 成立。
提示：注意对数函数的单调性，$g(x) \geq e^{x^2/4} > 0$。
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