南京师范大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
八、（15 分）设函数 $f$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上无限次可微，且 $\displaystyle \left\{f^{(n)}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致有界，且存在正数列 $\displaystyle \left\{\xi_{n}\right\}$ ，使得 $\displaystyle \lim _{n} \xi_{n}=0$ ，且 $\displaystyle f\left(\xi_{n}\right)=0, n=1,2, \cdots$ ，证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：由零点列推出f(0)=0
已知存在数列 $\xi_n \to 0$ 且 $f(\xi_n)=0$。由于 $f$ 连续，取极限得 $f(0)=\lim_{n\to\infty} f(\xi_n)=0$。
公式：$f(0)=\lim_{n\to\infty} f(\xi_n)=0$
提示：注意连续性是由可微保证的，极限过程要严谨。
步骤 2/6
目标：利用Rolle定理得到一阶导数的零点列
在每两个相邻零点 $\xi_n$ 与 $\xi_{n+1}$ 之间，由Rolle定理，存在 $\eta_n$ 使得 $f'(\eta_n)=0$。由于 $\xi_n\to0$，可知 $\eta_n\to0$。再由 $f'$ 连续，得 $f'(0)=\lim_{n\to\infty} f'(\eta_n)=0$。
公式：$f'(0)=\lim_{n\to\infty} f'(\eta_n)=0$
提示：Rolle定理要求函数在闭区间上连续、开区间内可导，这里满足条件。
步骤 3/6
目标：归纳证明所有阶导数在0处为零
假设已证 $f^{(k)}(0)=0$ 且 $f^{(k)}$ 有零点列趋于0（$k\ge0$），则对 $f^{(k)}$ 应用Rolle定理，得到 $f^{(k+1)}$ 的零点列趋于0，由连续性得 $f^{(k+1)}(0)=0$。由数学归纳法，对所有 $n\ge0$ 有 $f^{(n)}(0)=0$。
公式：$f^{(n)}(0)=0,\quad \forall n\in\mathbb{N}$
提示：注意每一步都需要利用导数的一致有界性保证连续性，但这里可微已足够。
步骤 4/6
目标：写出带拉格朗日余项的Taylor公式
对任意固定的 $x$ 和任意正整数 $N$，存在介于0与 $x$ 之间的 $\theta$ 使得 $f(x)=\sum_{k=0}^{N-1}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+\frac{f^{(N)}(\theta)}{N!}x^N$。由于所有 $f^{(k)}(0)=0$，求和项为0，故 $|f(x)|=\frac{|f^{(N)}(\theta)|}{N!}|x|^N$。
公式：$f(x)=\frac{f^{(N)}(\theta)}{N!}x^N$
提示：余项中的 $\theta$ 依赖于 $x$ 和 $N$，但不需要具体表达式。
步骤 5/6
目标：利用一致有界性放缩
由条件，存在常数 $M>0$ 使得对所有 $n$ 和所有实数 $t$，有 $|f^{(n)}(t)|\le M$。代入得 $|f(x)|\le \frac{M}{N!}|x|^N$。
公式：$|f(x)|\le \frac{M}{N!}|x|^N$
提示：一致有界性是对所有阶导数和所有自变量成立的，这是关键条件。
步骤 6/6
目标：令N趋于无穷，证明f(x)=0
对任意固定的 $x$，当 $N\to\infty$ 时，$\frac{|x|^N}{N!}\to0$（因为阶乘增长快于任何幂次），因此 $|f(x)|\le 0$，即 $f(x)=0$。由 $x$ 的任意性得 $f(x)\equiv0$。
公式：$\lim_{N\to\infty}\frac{|x|^N}{N!}=0$
提示：这里用到了极限的夹逼性质，注意 $M$ 是常数。
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