南京师范大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
六、（15 分）设连续函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，而 $\displaystyle g(u)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续．证明：
$\displaystyle \left\{g\left(f_{n}(x)\right)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle g(f(x))$.
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用一致收敛性推导极限函数的连续性
由题意，函数列 $\{f_n(x)\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $f(x)$，且每个 $f_n$ 连续。根据一致收敛的性质，极限函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续。因此，$f([a,b])$ 是紧集（有界闭集）。
公式：若 $f_n \rightrightarrows f$ 且 $f_n$ 连续，则 $f$ 连续。
提示：注意：一致收敛保持连续性，这是证明的关键前提。
步骤 2/5
目标：利用连续性得到一致连续性
由于 $g(u)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，而 $f([a,b])$ 是紧集，故 $g$ 在 $f([a,b])$ 上一致连续。即：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得当 $|u-v|<\delta$ 且 $u,v \in f([a,b])$ 时，有 $|g(u)-g(v)|<\varepsilon$。
公式：$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall u,v \in f([a,b]), |u-v|<\delta \Rightarrow |g(u)-g(v)|<\varepsilon$
提示：紧集上的连续函数必一致连续，但注意这里 $g$ 的定义域是整个实数轴，我们需要限制在 $f([a,b])$ 上使用此性质。
步骤 3/5
目标：将一致连续范围扩展到包含 $f_n$ 像集的闭区间
因为 $f([a,b])$ 是有界闭集，存在 $M>0$ 使得对所有 $u \in f([a,b])$ 有 $|u| \le M$。由 $f_n$ 一致收敛于 $f$，存在 $N$，当 $n>N$ 时，对所有 $x \in [a,b]$ 有 $|f_n(x)-f(x)|<\delta$，从而 $f_n(x) \in [-M-\delta, M+\delta]$。$g$ 在闭区间 $[-M-\delta, M+\delta]$ 上连续，因此一致连续，故存在 $\delta'>0$（可取 $\delta'=\delta$），使得当 $|u-v|<\delta$ 且 $u,v$ 在此闭区间内时，仍有 $|g(u)-g(v)|<\varepsilon$。
公式：$f_n(x) \in [-M-\delta, M+\delta]$，$g$ 在此闭区间上一致连续
提示：这一步是为了确保 $f_n(x)$ 的值也在 $g$ 的一致连续范围内，避免直接使用 $f([a,b])$ 可能不包含 $f_n(x)$ 的问题。
步骤 4/5
目标：利用一致收敛性控制 $f_n$ 与 $f$ 的误差
由 $f_n$ 一致收敛于 $f$，对上述 $\delta>0$，存在 $N$，当 $n>N$ 时，对所有 $x \in [a,b]$ 有 $|f_n(x)-f(x)|<\delta$。
公式：$\forall \delta>0, \exists N, \forall n>N, \forall x \in [a,b], |f_n(x)-f(x)|<\delta$
提示：这里 $\delta$ 由第二步中一致连续性确定，注意 $N$ 依赖于 $\delta$ 而非 $\varepsilon$。
步骤 5/5
目标：结合一致连续性和误差控制证明复合函数列一致收敛
当 $n>N$ 时，对任意 $x \in [a,b]$，有 $|f_n(x)-f(x)|<\delta$。由于 $f(x) \in f([a,b]) \subseteq [-M-\delta, M+\delta]$，且 $f_n(x) \in [-M-\delta, M+\delta]$，由第三步中 $g$ 在 $[-M-\delta, M+\delta]$ 上的一致连续性，可得 $|g(f_n(x))-g(f(x))|<\varepsilon$。此不等式对所有 $x \in [a,b]$ 一致成立，故 $\{g(f_n(x))\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $g(f(x))$。
公式：$\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall n>N, \forall x \in [a,b], |g(f_n(x))-g(f(x))|<\varepsilon$
提示：注意：这里 $\varepsilon$ 是任意给定的，$N$ 由 $\delta$ 决定，而 $\delta$ 由 $\varepsilon$ 决定，因此 $N$ 最终依赖于 $\varepsilon$，满足一致收敛定义。
步骤 6/6
目标：结论
由 $f_n$ 一致收敛于 $f$ 可知 $f_n$ 和 $f$ 在 $[a,b]$ 上一致有界，从而它们的值都落在某个闭区间内；$g$ 在该闭区间上一致连续，于是由一致收敛定义可直接推出复合函数列一致收敛。因此命题成立。
提示：证明的关键步骤是构造有界闭区间并利用一致连续性。
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