南京师范大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
十、（15 分）证明积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\sin \frac{1}{x}}{x^{p}} d x$ 在 $\displaystyle 0<p<2$ 中非一致收敛，但在 $\displaystyle 0<p \leq 2-\delta(0<\delta<2)$ 中一致收敛。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：明确积分形式与问题，分析逐点收敛性
研究含参量反常积分 $I(p)=\int_{0}^{1} \frac{\sin(1/x)}{x^{p}} dx$，其中 $p>0$，奇点在 $x=0$。通过变量代换 $t=1/x$，得 $x=1/t$，$dx=-dt/t^2$，积分化为 $\int_{1}^{\infty} \frac{\sin t}{t^{2-p}} dt$。由 Dirichlet 判别法，当 $2-p>0$ 即 $p<2$ 时，$\int_{1}^{A} \sin t dt$ 有界，$1/t^{2-p}$ 单调趋于 0，故积分条件收敛；当 $p\ge 2$ 时发散。因此逐点收敛范围为 $0
公式：$I(p)=\int_{1}^{\infty} \frac{\sin t}{t^{2-p}} dt$
提示：注意变量代换后积分限变换，且 $\sin(1/x)$ 的振荡性转化为 $\sin t$ 的振荡性，便于应用 Dirichlet 判别法。
步骤 2/4
目标：证明在 $0
令 $\alpha=2-p$，则 $p\le 2-\delta$ 对应 $\alpha\ge \delta>0$。考虑积分 $\int_{1}^{\infty} \frac{\sin t}{t^{\alpha}} dt$。对任意 $\varepsilon>0$，由积分第二中值定理，存在 $\xi\in[A,B]$，使得 $\left|\int_{A}^{B} \frac{\sin t}{t^{\alpha}} dt\right| = \frac{1}{A^{\alpha}} \left|\int_{A}^{\xi} \sin t dt\right| \le \frac{2}{A^{\alpha}}$。由于 $\alpha\ge\delta$，有 $\frac{1}{A^{\alpha}} \le \frac{1}{A^{\delta}}$。取 $A_0 > (2/\varepsilon)^{1/\delta}$，则对所有 $\alpha\ge\delta$ 及 $B>A>A_0$，积分绝对值小于 $\varepsilon$，故一致收敛。
公式：$\left|\int_{A}^{B} \frac{\sin t}{t^{\alpha}} dt\right| \le \frac{2}{A^{\alpha}} \le \frac{2}{A^{\delta}}$
提示：这里不能直接用 Weierstrass M-判别法，因为 $\int_1^\infty 1/t^{\delta} dt$ 在 $\delta\le 1$ 时发散；需利用 Dirichlet 判别法的一致形式，关键在于 $1/A^{\alpha}$ 在 $\alpha$ 有正下界时能被 $1/A^{\delta}$ 控制。
步骤 3/4
目标：证明在 $0
假设积分在 $(0,2)$ 上一致收敛，则对 $\varepsilon=1$，存在与 $p$ 无关的 $A_0$，使得对所有 $p<2$ 及 $A\ge A_0$，有 $\left|\int_{A}^{\infty} \frac{\sin t}{t^{2-p}} dt\right| < 1$。取 $p=2-1/n$（$n$ 充分大），则 $\alpha=1/n$。取 $A=n\pi$，考虑区间 $[n\pi, 2n\pi]$，由于 $\sin t$ 在该区间上正负交替，但 $t^{1/n}$ 变化缓慢，可估计 $\left|\int_{n\pi}^{2n\pi} \frac{\sin t}{t^{1/n}} dt\right| \approx \int_{0}^{\pi} \frac{\sin u}{(n\pi+u)^{1/n}} du \ge \frac{2}{(2n\pi)^{1/n}} \to 2$（当 $n\to\infty$）。因此存在 $n$ 使该积分值大于 1，与一致收敛矛盾。故非一致收敛。
公式：$\left|\int_{n\pi}^{2n\pi} \frac{\sin t}{t^{1/n}} dt\right| \ge \frac{2}{(2n\pi)^{1/n}} \to 2$
提示：非一致收敛的证明关键是构造 $p$ 趋近于 2 时积分尾部无法一致小，利用 $\sin t$ 在长区间上的积分不衰减以及 $t^{\alpha}$ 接近常数。
步骤 4/4
目标：总结结论
积分 $\int_0^1 \frac{\sin(1/x)}{x^p} dx$ 在 $0
公式：无
提示：注意两个结论的区别：一致收敛需要参数区间远离临界点 $p=2$，而包含 $p=2$ 的邻域时则非一致。
步骤 5/5
目标：总结结论
综合以上分析：
- 积分 $\int_{0}^{1} \frac{\sin(1/x)}{x^{p}} dx$ 在 $0 0$，积分一致收敛。
公式：$$\text{非一致收敛：} p \in (0,2); \quad \text{一致收敛：} p \in (0, 2-\delta]$$
提示：注意区分逐点收敛与一致收敛：逐点收敛只需对每个固定的 $p$ 成立，而一致收敛要求对所有 $p$ 同时成立，需要更强的条件。
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