南京师范大学 2017年数学分析第0题

将原不等式 $(a+b) \int_a^b f(x) dx < 2 \int_a^b x f(x) dx$ 移项，得到 $2 \int_a^b x f(x) dx - (a+b) \int_a^b f(x) dx > 0$。合并为一个积分：$\int_a^b [2x - (a+b)] f(x) dx > 0$。因此，只需证明 $\int_a^b (2x - a - b) f(x) dx > 0$。

令 $g(x) = 2x - a - b$。这是一个一次函数，在区间 $[a, b]$ 上：当 $x = \frac{a+b}{2}$ 时，$g(x) = 0$；当 $x < \frac{a+b}{2}$ 时，$g(x) < 0$；当 $x > \frac{a+b}{2}$ 时，$g(x) > 0$。该因子关于中点对称，且满足 $g(a+b-t) = -g(t)$。

由于 $f$ 严格单调递增，对于任意 $t \in [a, b]$，考虑对称点 $a+b-t$。当 $t < \frac{a+b}{2}$ 时，有 $t < a+b-t$，因此 $f(t) < f(a+b-t)$，即 $f(t) - f(a+b-t) < 0$。

将积分拆分为两部分：$\int_a^b g(x)f(x)dx = \int_a^{\frac{a+b}{2}} g(x)f(x)dx + \int_{\frac{a+b}{2}}^b g(x)f(x)dx$。对第二个积分作变量代换 $x = a+b-t$，则当 $x$ 从 $\frac{a+b}{2}$ 到 $b$ 时，$t$ 从 $\frac{a+b}{2}$ 到 $a$，且 $dx = -dt$。交换积分限后得到：$\int_{\frac{a+b}{2}}^b g(x)f(x)dx = \int_a^{\frac{a+b}{2}} g(a+b-t) f(a+b-t) dt$。

由 $g(a+b-t) = -g(t)$，代入得：$\int_{\frac{a+b}{2}}^b g(x)f(x)dx = \int_a^{\frac{a+b}{2}} (-g(t)) f(a+b-t) dt$。于是原积分化为：$\int_a^b g(x)f(x)dx = \int_a^{\frac{a+b}{2}} g(t) f(t) dt + \int_a^{\frac{a+b}{2}} (-g(t)) f(a+b-t) dt = \int_a^{\frac{a+b}{2}} g(t) [f(t) - f(a+b-t)] dt$。

在区间 $t \in [a, \frac{a+b}{2})$ 上：$g(t) < 0$（因为 $t$ 小于中点），且 $f(t) - f(a+b-t) < 0$（因为 $f$ 严格递增）。负数乘负数得正数，因此被积函数 $g(t)[f(t)-f(a+b-t)] > 0$ 在区间内部处处成立（端点处可能为零，但不影响积分正值）。所以积分 $\int_a^{\frac{a+b}{2}} g(t)[f(t)-f(a+b-t)] dt > 0$，即原不等式成立。