南京师范大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
1． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1-\frac{1}{n}}$ ：
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将根式转化为指数形式
将 $\sqrt[n]{1-\frac{1}{n}}$ 写成指数形式：$\left(1-\frac{1}{n}\right)^{1/n}$。
公式：$\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$
提示：注意根指数与幂指数的对应关系，避免混淆。
步骤 2/5
目标：取自然对数简化极限
令 $a_n = \left(1-\frac{1}{n}\right)^{1/n}$，则 $\ln a_n = \frac{1}{n} \ln\left(1-\frac{1}{n}\right)$。
公式：$\ln(a^{b}) = b \ln a$
提示：取对数是处理幂指函数极限的常用技巧。
步骤 3/5
目标：利用等价无穷小近似对数项
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n} \to 0$，由等价无穷小 $\ln(1-x) \sim -x$（$x \to 0$），得 $\ln\left(1-\frac{1}{n}\right) \sim -\frac{1}{n}$。
公式：$\ln(1-x) \sim -x \quad (x \to 0)$
提示：注意等价无穷小替换的条件：$x$ 趋于 $0$，且替换后极限存在。
步骤 4/5
目标：计算对数部分的极限
代入近似：$\ln a_n \sim \frac{1}{n} \cdot \left(-\frac{1}{n}\right) = -\frac{1}{n^2}$。当 $n \to \infty$ 时，$-\frac{1}{n^2} \to 0$，故 $\lim_{n\to\infty} \ln a_n = 0$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2} = 0$
提示：严格证明可用夹逼定理：$0 \leq -\ln a_n \leq \frac{1}{n(n-1)}$ 等。
步骤 5/5
目标：由对数极限反推原极限
由 $\lim_{n\to\infty} \ln a_n = 0$ 及指数函数的连续性，得 $\lim_{n\to\infty} a_n = e^0 = 1$。
公式：$\lim a_n = e^{\lim \ln a_n}$
提示：指数函数连续，故极限符号可与指数交换。
步骤 6/6
目标：得出指数极限并求原极限
因此指数部分的极限为0，原极限为：
$$e^0 = 1.$$
提示：不要忘记最终结果是指数函数值。
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