南京师范大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
2． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left[x-x^{2} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right]$ ；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：变量替换，将无穷极限转化为零极限
令 \( t = \frac{1}{x} \)，当 \( x \to \infty \) 时，\( t \to 0^+ \)，且 \( x = \frac{1}{t} \)。代入原式得：
\[
\lim_{x \to \infty} \left[ x - x^2 \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) \right] = \lim_{t \to 0^+} \left[ \frac{1}{t} - \frac{1}{t^2} \ln(1+t) \right]
\]
公式：t = \frac{1}{x}, \quad x = \frac{1}{t}
提示：注意当 \( x \to \infty \) 时，\( t \to 0^+ \)，极限方向是右极限，但本题不影响结果。
步骤 2/4
目标：通分，将表达式化为分式形式
将括号内的式子通分，分母取为 \( t^2 \)：
\[
\frac{1}{t} - \frac{\ln(1+t)}{t^2} = \frac{t - \ln(1+t)}{t^2}
\]
因此极限转化为：
\[
\lim_{t \to 0^+} \frac{t - \ln(1+t)}{t^2}
\]
公式：\frac{t - \ln(1+t)}{t^2}
提示：通分时注意不要漏掉负号，分子是 \( t - \ln(1+t) \)。
步骤 3/4
目标：使用泰勒展开（或洛必达法则）求极限
当 \( t \to 0 \) 时，对 \( \ln(1+t) \) 进行泰勒展开：
\[
\ln(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \cdots
\]
代入分子：
\[
t - \ln(1+t) = t - \left( t - \frac{t^2}{2} + O(t^3) \right) = \frac{t^2}{2} + O(t^3)
\]
于是：
\[
\frac{t - \ln(1+t)}{t^2} = \frac{\frac{t^2}{2} + O(t^3)}{t^2} = \frac{1}{2} + O(t)
\]
当 \( t \to 0 \) 时，极限为 \( \frac{1}{2} \)。
公式：\ln(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + O(t^3), \quad \frac{t - \ln(1+t)}{t^2} \to \frac{1}{2}
提示：也可用洛必达法则：对分子分母分别求导两次，注意验证 \( \frac{0}{0} \) 型未定式。
步骤 4/4
目标：得出原极限结果
由以上推导，原极限为：
\[
\lim_{x \to \infty} \left[ x - x^2 \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) \right] = \frac{1}{2}
\]
公式：\boxed{\frac12}
提示：最终结果是一个常数，表明 \( x \) 与 \( x^2 \ln(1+1/x) \) 的差趋于 \( 1/2 \)。
步骤 5/5
目标：得出原极限
故原极限为 $\frac{1}{2}$。
提示：注意变量代换后要回代，但这里直接得到数值。
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