南京师范大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
3．设 $u(x)=\sin x, v(x)=e^{x}$ ，求 $d^{2}(u v)$ ；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解二阶微分的含义
在微积分中，函数 $f(x)$ 的二阶微分定义为 $d^2 f = f''(x) \, dx^2$。因此，对于 $u(x)v(x)$，有 $d^2(uv) = (uv)'' \, dx^2$。
公式：d^2 f = f''(x) \, dx^2
提示：注意 $dx^2$ 是 $(dx)^2$ 的简写，不是对 $x^2$ 微分。
步骤 2/4
目标：求一阶导数 $(uv)'$
由乘积法则：$(uv)' = u'v + uv'$。已知 $u(x)=\sin x$，$v(x)=e^x$，则 $u' = \cos x$，$v' = e^x$。代入得：$(uv)' = \cos x \cdot e^x + \sin x \cdot e^x = e^x(\cos x + \sin x)$。
公式：(uv)' = u'v + uv'
提示：不要忘记 $e^x$ 的导数仍是 $e^x$。
步骤 3/4
目标：求二阶导数 $(uv)''$
对一阶导数 $e^x(\cos x + \sin x)$ 再次求导，使用乘积法则：$(uv)'' = (e^x)'(\cos x + \sin x) + e^x(\cos x + \sin x)'$。计算得：$e^x(\cos x + \sin x) + e^x(-\sin x + \cos x) = e^x[(\cos x + \sin x) + (\cos x - \sin x)] = e^x(2\cos x)$。
公式：(uv)'' = e^x(2\cos x)
提示：注意 $\cos x$ 的导数是 $-\sin x$，$\sin x$ 的导数是 $\cos x$，合并时小心符号。
步骤 4/4
目标：写出二阶微分表达式
根据二阶微分的定义，$d^2(uv) = (uv)'' \, dx^2 = 2e^x \cos x \, dx^2$。
公式：d^2(uv) = 2e^x \cos x \, dx^2
提示：最终结果中 $dx^2$ 不可省略，它表示微分的阶数。
步骤 5/6
目标：计算 f(x) 的导数
对 $f(x)=e^{x}(\cos x+\sin x)$ 求导：$f'(x)=e^{x}(\cos x+\sin x)+e^{x}(-\sin x+\cos x)=e^{x}(\cos x+\sin x-\sin x+\cos x)=2e^{x}\cos x$。
公式：f'(x)=2e^{x}\cos x
提示：使用乘积法则时，注意 $\sin x$ 的导数是 $\cos x$，$\cos x$ 的导数是 $-\sin x$。
步骤 6/6
目标：写出二阶微分的最终表达式
将 $f'(x)$ 代入：$d^2(uv)=2e^{x}\cos x\,dx\cdot dx = 2e^{x}\cos x\,(dx)^2$。通常简写为 $d^2(uv)=2e^{x}\cos x\,dx^{2}$，其中 $dx^{2}$ 表示 $(dx)^2$。
公式：d^{2}(uv)=2e^{x}\cos x\,dx^{2}
提示：最终结果中 $dx^2$ 是二阶微分的标准记法，不要误写为 $d(x^2)$。
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