南京师范大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
4． $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{x} \sin x d x$ ；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设不定积分，为分部积分做准备
令 \( I = \int e^{x} \sin x \, dx \)，先求不定积分，再代入上下限。
公式：I = \int e^{x} \sin x \, dx
提示：注意定积分与不定积分的关系，先求原函数再代值。
步骤 2/6
目标：第一次分部积分
令 \( u = \sin x \), \( dv = e^{x} dx \)，则 \( du = \cos x \, dx \), \( v = e^{x} \)。由分部积分公式 \( \int u \, dv = uv - \int v \, du \) 得：
\[ I = e^{x} \sin x - \int e^{x} \cos x \, dx \]
公式：\int u \, dv = uv - \int v \, du
提示：选择 u 和 dv 时，通常让 u 的导数简单，dv 容易积分。
步骤 3/6
目标：第二次分部积分
计算 \( \int e^{x} \cos x \, dx \)。令 \( u = \cos x \), \( dv = e^{x} dx \)，则 \( du = -\sin x \, dx \), \( v = e^{x} \)。于是：
\[ \int e^{x} \cos x \, dx = e^{x} \cos x - \int e^{x} (-\sin x) \, dx = e^{x} \cos x + \int e^{x} \sin x \, dx \]
公式：\int e^{x} \cos x \, dx = e^{x} \cos x + I
提示：注意符号变化，避免漏掉负号。
步骤 4/6
目标：代入并解出 I
将第二次分部积分的结果代入第一次的表达式：
\[ I = e^{x} \sin x - (e^{x} \cos x + I) \]
即 \( I = e^{x} \sin x - e^{x} \cos x - I \)。移项得 \( 2I = e^{x} (\sin x - \cos x) \)，所以：
\[ I = \frac{1}{2} e^{x} (\sin x - \cos x) + C \]
公式：I = \frac{1}{2} e^{x} (\sin x - \cos x) + C
提示：解方程时注意将 I 项合并，不要遗漏常数 C。
步骤 5/6
目标：代入定积分上下限
计算定积分：
\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{x} \sin x \, dx = \left[ \frac{1}{2} e^{x} (\sin x - \cos x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \]
代入上限 \( x = \frac{\pi}{2} \)：\( \sin \frac{\pi}{2} = 1 \), \( \cos \frac{\pi}{2} = 0 \)，得 \( \frac{1}{2} e^{\pi/2} (1 - 0) = \frac{1}{2} e^{\pi/2} \)。
代入下限 \( x = 0 \)：\( \sin 0 = 0 \), \( \cos 0 = 1 \)，得 \( \frac{1}{2} e^{0} (0 - 1) = -\frac{1}{2} \)。
公式：\left[ \frac{1}{2} e^{x} (\sin x - \cos x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}
提示：代入上下限时注意符号，尤其是下限为0时容易出错。
步骤 6/6
目标：求差值得到最终结果
上限值减去下限值：
\[ \frac{1}{2} e^{\pi/2} - \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} e^{\pi/2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \left( e^{\pi/2} + 1 \right) \]
公式：\frac{1}{2} \left( e^{\frac{\pi}{2}} + 1 \right)
提示：最终结果可以写成 \( \frac{1}{2}(e^{\pi/2}+1) \)，注意括号。
步骤 7/7
目标：得出最终结果
定积分值 = 上限值 - 下限值 = \(\frac{1}{2} e^{\frac{\pi}{2}} - (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} (e^{\frac{\pi}{2}} + 1)\)。
提示：最终结果化简为\(\frac{1}{2}(e^{\pi/2}+1)\)，注意括号。
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