南京师范大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
5．设 $0<a_{1}<1, a_{n+1}=a_{n}\left(1-a_{n}\right)(n=1,2, \cdots)$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定数列的取值范围
已知 $0 < a_1 < 1$。计算 $a_2 = a_1(1 - a_1)$，由于 $a_1$ 和 $1-a_1$ 均为正且小于 1，故 $0 < a_2 < 1$。假设 $0 < a_n < 1$，则 $a_{n+1} = a_n(1 - a_n)$ 也是正数且小于 1，由数学归纳法知对所有 $n$ 有 $0 < a_n < 1$。
公式：$0 < a_n < 1$
提示：注意 $a_n$ 和 $1-a_n$ 均为正数，乘积必为正；且每个因子小于 1，乘积也小于 1。
步骤 2/5
目标：判断数列的单调性
计算相邻两项的差：$a_{n+1} - a_n = a_n(1 - a_n) - a_n = -a_n^2$。由于 $a_n > 0$，故 $a_{n+1} - a_n < 0$，数列严格递减。
公式：$a_{n+1} - a_n = -a_n^2 < 0$
提示：不要忘记 $a_n$ 为正，否则差可能为零或正。
步骤 3/5
目标：证明极限存在
数列 $\{a_n\}$ 单调递减且有下界 $0$，根据单调有界定理，极限存在。设 $\lim_{n \\to \\infty} a_n = L$。
公式：$\\lim_{n \\to \\infty} a_n = L$
提示：单调递减有下界是极限存在的充分条件，这里下界为 0。
步骤 4/5
目标：利用递推关系求极限值
对递推式 $a_{n+1} = a_n(1 - a_n)$ 两边取极限，得 $L = L(1 - L)$。整理得 $L = L - L^2$，移项得 $L^2 = 0$，解得 $L = 0$。
公式：$L = L(1 - L) \\Rightarrow L^2 = 0 \\Rightarrow L = 0$
提示：取极限时注意 $a_n$ 和 $a_{n+1}$ 趋于同一极限 $L$，且 $L$ 应在数列范围内，即 $0 \\leq L < 1$。
步骤 5/5
目标：得出结论
由于数列严格递减且极限为 0，故 $\lim_{n \\to \\infty} a_n = 0$。
公式：$\\boxed{0}$
提示：最终结果需明确写出，并注意数列从正数开始递减至 0。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，数列 $\{a_n\}$ 的极限为 $0$。
公式：\boxed{0}
提示：最终结果简洁，但需注意初始条件 $a_1$ 在 $(0,1)$ 内，若 $a_1=0$ 或 $a_1=1$ 则结论不同。
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