南京师范大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
五、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 定义在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上，且 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) d x$ 收敛。
（1）若 $\displaystyle [a,+\infty)$ 单调，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x f(x)=0$ ．
（2）若将（1）中的 $\displaystyle f(x)$ 单调改为 $\displaystyle f(x)>0(x \in[a,+\infty])$ ，是否还有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x f(x)=0$ ？如果是，请给出证明；如果不是，请给出反例．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：由积分收敛推出尾部积分趋于0
由于反常积分 $\int_a^{+\infty} f(x) dx$ 收敛，根据定义，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $X>a$，使得当 $t>X$ 时，有 $\left|\int_t^{+\infty} f(x) dx\right|<\varepsilon$。特别地，$\lim_{t\to+\infty}\int_t^{+\infty} f(x) dx=0$。
公式：$\lim_{t\to+\infty}\int_t^{+\infty} f(x) dx=0$
提示：注意积分收敛的柯西准则：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $X$，当 $t_1,t_2>X$ 时，$\left|\int_{t_1}^{t_2} f(x) dx\right|<\varepsilon$。
步骤 2/7
目标：利用单调性分析f(x)的符号和趋势
由于 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上单调，且积分收敛，则 $f(x)$ 必须趋于0。若 $f$ 单调递增，则 $f(x)$ 必须非正（否则正且递增会导致积分发散）；若 $f$ 单调递减，则 $f(x)$ 非负（否则负且递减会导致积分发散）。因此，不妨设 $f(x)\ge 0$ 且单调递减（若为负，考虑 $-f$ 即可）。
公式：设 $f(x)\ge 0$ 且单调递减，$\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$
提示：单调递增且为正时积分必发散，这是常见易错点。
步骤 3/7
目标：构造积分不等式，将xf(x)与尾部积分联系起来
对任意 $x>2a$，考虑区间 $[x/2, x]$。由于 $f$ 单调递减，对任意 $t\in[x/2, x]$，有 $f(x)\le f(t)$。于是 $\int_{x/2}^{x} f(t) dt \ge \int_{x/2}^{x} f(x) dt = \frac{x}{2} f(x)$。因此 $0\le x f(x)\le 2\int_{x/2}^{x} f(t) dt$。
公式：$0\le x f(x)\le 2\int_{x/2}^{x} f(t) dt$
提示：注意区间长度是 $x/2$，不要算错。
步骤 4/7
目标：利用尾部积分趋于0，由夹逼定理得极限为0
由于 $\int_{x/2}^{x} f(t) dt$ 是收敛积分尾部的一部分，当 $x\to+\infty$ 时，$\int_{x/2}^{x} f(t) dt\to 0$。因此 $2\int_{x/2}^{x} f(t) dt\to 0$。由夹逼定理，$\lim_{x\to+\infty} x f(x)=0$。
公式：$\lim_{x\to+\infty} x f(x)=0$
提示：夹逼定理要求不等式两边极限相等，这里左边为0，右边趋于0。
步骤 5/7
目标：分析第二问：去掉单调性后结论是否仍成立
结论是不一定成立。需要构造一个反例：函数 $f(x)>0$，积分收敛，但 $\lim_{x\to+\infty} x f(x)$ 不存在或不为0。构造思路：让 $f(x)$ 在某些点取大值，但支撑集很窄，使得积分面积小。
公式：反例需满足 $\int_a^{+\infty} f(x) dx<+\infty$ 且 $\limsup_{x\to+\infty} x f(x)>0$
提示：注意反例中 $f(x)$ 必须处处为正，不能有零值区间？题目说 $f(x)>0$，所以不能取零，但可以取非常小的正数。
步骤 6/7
目标：给出具体反例并验证
定义 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上：对每个正整数 $n$，在区间 $[n-\frac{1}{n^2}, n+\frac{1}{n^2}]$ 上令 $f(x)=1$，其余地方令 $f(x)=\frac{1}{x^2}$（确保处处为正）。则每个尖峰面积为 $\frac{2}{n^2}$，总和 $\sum\frac{2}{n^2}$ 收敛，加上 $\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx$ 也收敛，故总积分收敛。但在 $x=n$ 处，$x f(x)=n\cdot 1=n\to+\infty$，因此 $\lim_{x\to+\infty} x f(x)$ 不存在（无界）。
公式：$f(x)=\begin{cases}1,&x\in\left[n-\frac{1}{n^2},n+\frac{1}{n^2}\right],\\ \frac{1}{x^2},&\text{其他}\end{cases}$
提示：注意要保证 $f(x)>0$，所以不能在其他地方取0，取 $1/x^2$ 即可。
步骤 7/7
目标：总结第二问结论
因此，去掉单调性后，$\lim_{x\to+\infty} x f(x)=0$ 不一定成立。反例表明即使积分收敛且 $f(x)>0$，$x f(x)$ 仍可能无界。
公式：结论：不一定成立
提示：单调性是关键条件，缺少它结论不成立。
步骤 8/8
目标：总结第二问结论
因此，去掉单调性条件后，$\lim_{x\to+\infty} x f(x)=0$ 不一定成立。反例表明即使积分收敛，$x f(x)$ 也可以无界。
公式：反例说明结论不成立
提示：单调性保证了函数值不会突然跳变，从而积分能控制函数值的衰减速度；没有单调性时，函数可以“集中”在很窄的区域产生大值。
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