南京师范大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
八、（15 分）计算曲线积分 $\displaystyle I=\oint_{L}\left(y^{2}-z^{2}\right) d x+\left(2 z^{2}-x^{2}\right) d y+\left(3 x^{2}-y^{2}\right) d z$ ．其中 $L$ 为平面 $\displaystyle x+y+z=2$ 与柱面 $\displaystyle |x|+|y|=1$ 的交线，从 $z$ 轴正向看去，$L$ 为逆时针方向。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：应用斯托克斯公式，将曲线积分转化为曲面积分
设向量场 $\mathbf{F} = (P, Q, R) = (y^2 - z^2,\; 2z^2 - x^2,\; 3x^2 - y^2)$，由斯托克斯公式：
$$\oint_L P\,dx+Q\,dy+R\,dz = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}\, dS$$
其中 $S$ 是以 $L$ 为边界的曲面，取为平面 $x+y+z=2$ 上被柱面 $|x|+|y|=1$ 所截的部分，方向与 $L$ 满足右手定则。
公式：斯托克斯公式：$\oint_L \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}\, dS$
提示：注意曲线方向与曲面法向的右手定则对应关系。
步骤 2/5
目标：计算旋度 $\nabla \times \mathbf{F}$
计算旋度：
$$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ y^2-z^2 & 2z^2-x^2 & 3x^2-y^2 \end{vmatrix}$$
各分量：
- $\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2-y^2) - \frac{\partial}{\partial z}(2z^2-x^2) = -2y - 4z$
- $\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial z}(y^2-z^2) - \frac{\partial}{\partial x}(3x^2-y^2) = -2z - 6x$
- $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial x}(2z^2-x^2) - \frac{\partial}{\partial y}(y^2-z^2) = -2x - 2y$
所以旋度向量为：
$$\nabla \times \mathbf{F} = (-2y-4z,\; -2z-6x,\; -2x-2y)$$
公式：$\nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)$
提示：计算旋度时注意偏导顺序和符号，避免混淆。
步骤 3/5
目标：确定曲面法向量并计算被积函数点乘
平面 $x+y+z=2$ 的法向量为 $(1,1,1)$，单位化得 $\mathbf{n} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$。从 $z$ 轴正向看曲线为逆时针，对应法向量指向 $z$ 正方向，$(1,1,1)$ 的 $z$ 分量为正，符合要求。
计算点乘：
$$(\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n} = \frac{1}{\sqrt{3}}[(-2y-4z) + (-2z-6x) + (-2x-2y)] = \frac{1}{\sqrt{3}}(-8x -4y -6z)$$
代入 $z = 2 - x - y$：
$$-8x -4y -6(2-x-y) = -8x -4y -12 +6x+6y = -2x+2y-12$$
因此：
$$(\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n} = \frac{1}{\sqrt{3}}(-2x+2y-12)$$
公式：$\mathbf{n} = \frac{(1,1,1)}{\sqrt{3}}$
提示：注意法向量方向与曲线方向的右手定则一致性，此处法向量指向z正方向。
步骤 4/5
目标：将曲面积分投影到 $xOy$ 平面计算
曲面 $S$ 在 $xOy$ 平面上的投影区域 $D$ 为 $|x|+|y| \le 1$。由 $z=2-x-y$ 得 $z_x=-1,\; z_y=-1$，面积元 $dS = \sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,dxdy = \sqrt{3}\,dxdy$。
曲面积分化为：
$$I = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}\, dS = \iint_D \frac{1}{\sqrt{3}}(-2x+2y-12) \cdot \sqrt{3}\,dxdy = \iint_D (-2x+2y-12)\,dxdy$$
公式：$dS = \sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,dxdy$
提示：投影时注意面积元转换因子，并正确代入平面方程。
步骤 5/5
目标：利用对称性计算二重积分
区域 $D: |x|+|y| \le 1$ 关于 $x$ 轴和 $y$ 轴对称。$-2x$ 是 $x$ 的奇函数，$2y$ 是 $y$ 的奇函数，在对称区域上积分为零。因此：
$$I = \iint_D (-12)\,dxdy = -12 \cdot \text{Area}(D)$$
菱形 $|x|+|y| \le 1$ 的面积为 $2$（四个直角边长为1的等腰直角三角形，面积 $4 \times \frac{1}{2}=2$）。
所以：
$$I = -12 \times 2 = -24$$
公式：对称区域上奇函数积分为零；菱形面积公式
提示：利用对称性简化计算时，需确认函数奇偶性与区域对称性匹配。
步骤 6/7
目标：计算二重积分
区域 $D$ 关于 $x$ 和 $y$ 对称，$-2x$ 和 $2y$ 分别是 $x$ 和 $y$ 的奇函数，积分值为零。因此
$$
\iint_D (-2x+2y-12)\, dx\, dy = \iint_D (-12)\, dx\, dy = -12 \cdot \text{Area}(D)
$$
菱形 $|x|+|y| \le 1$ 的面积为 $\frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$，所以积分值为 $-12 \times 2 = -24$。
公式：菱形面积公式：$\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{对角线1} \times \text{对角线2}$
提示：利用对称性简化积分，注意常数项积分等于常数乘以区域面积。
步骤 7/7
目标：得出曲线积分结果
由斯托克斯公式，原曲线积分等于该曲面积分，因此
$$
I = -24
$$
提示：最终结果要检查符号，确保与方向一致。
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