南京师范大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
六、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是仅有正实根的多项式，$\displaystyle -\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n} x^{n}$ ．证明 $\displaystyle \lim _{n} \frac{c_{n}}{c_{n+1}}, \lim _{n} \frac{1}{\sqrt[n]{c_{n}}}$ 都存在且等于 $\displaystyle f(x)$ 的最小根。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将多项式因式分解并写出对数导数形式
设 \( f(x) \) 是仅有正实根的 \( m \) 次多项式，可写为 \( f(x) = a \prod_{k=1}^{m} (x - r_k) \)，其中 \( r_1, r_2, \dots, r_m > 0 \)，且不妨设 \( 0 < r_1 \le r_2 \le \dots \le r_m \)。取对数导数得 \( \frac{f'(x)}{f(x)} = \sum_{k=1}^m \frac{1}{x - r_k} \)，因此 \( -\frac{f'(x)}{f(x)} = \sum_{k=1}^m \frac{1}{r_k - x} \)。
公式：f(x) = a \prod_{k=1}^{m} (x - r_k), \quad -\frac{f'(x)}{f(x)} = \sum_{k=1}^m \frac{1}{r_k - x}
提示：注意对数导数的计算：\( \frac{d}{dx} \ln f(x) = \frac{f'(x)}{f(x)} \)，且负号来自题目定义。
步骤 2/5
目标：将对数导数展开为幂级数并得到系数表达式
对于 \( |x| < r_1 \)（即小于最小根），利用几何级数展开：\( \frac{1}{r_k - x} = \frac{1}{r_k} \cdot \frac{1}{1 - x/r_k} = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{r_k^{n+1}} \)。代入求和得 \( -\frac{f'(x)}{f(x)} = \sum_{k=1}^m \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{r_k^{n+1}} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{k=1}^m \frac{1}{r_k^{n+1}} \right) x^n \)。由题设 \( -\frac{f'(x)}{f(x)} = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n \)，故 \( c_n = \sum_{k=1}^m \frac{1}{r_k^{n+1}} \)。
公式：c_n = \sum_{k=1}^m \frac{1}{r_k^{n+1}}
提示：展开时要求 \( |x| < r_1 \)，确保级数收敛；系数 \( c_n \) 是各根倒数的幂和。
步骤 3/5
目标：证明极限 \( \lim_{n \to \infty} \frac{c_n}{c_{n+1}} \) 存在且等于最小根
由于 \( r_1 \) 是最小正根，当 \( n \) 很大时，\( 1/r_1^{n+1} \) 项占主导。将 \( c_n \) 写为 \( c_n = \frac{1}{r_1^{n+1}} \left[ 1 + \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^{n+1} + \dots + \left( \frac{r_1}{r_m} \right)^{n+1} \right] \)。括号内除第一项外，其他项因 \( r_1/r_k \le 1 \) 且对 \( k>1 \) 严格小于 1 而趋于 0，故 \( c_n = \frac{1}{r_1^{n+1}} (1 + o(1)) \)。于是 \( \frac{c_n}{c_{n+1}} = \frac{ \frac{1}{r_1^{n+1}} (1 + o(1)) }{ \frac{1}{r_1^{n+2}} (1 + o(1)) } = r_1 \cdot \frac{1+o(1)}{1+o(1)} \to r_1 \)。
公式：\lim_{n \to \infty} \frac{c_n}{c_{n+1}} = r_1
提示：注意 \( o(1) \) 表示趋于 0 的量，比值极限由主导项决定；若 \( r_1 = r_2 \)，则需考虑重根情形，但主导项仍为 \( 1/r_1^{n+1} \) 乘以常数因子，不影响极限。
步骤 4/5
目标：证明极限 \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{c_n}} \) 存在且等于最小根
由 \( c_n = \frac{1}{r_1^{n+1}} (1 + o(1)) \)，取 \( n \) 次根得 \( \sqrt[n]{c_n} = \sqrt[n]{ \frac{1}{r_1^{n+1}} (1+o(1)) } = \frac{1}{r_1} \cdot r_1^{-1/n} \cdot (1+o(1))^{1/n} \)。由于 \( r_1^{-1/n} \to 1 \)，且 \( (1+o(1))^{1/n} \to 1 \)（因为 \( 1+o(1) \) 有界且趋于 1，其 \( n \) 次根趋于 1），故 \( \sqrt[n]{c_n} \to \frac{1}{r_1} \)，从而 \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{c_n}} = r_1 \)。
公式：\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{c_n}} = r_1
提示：注意 \( r_1^{-1/n} = e^{-\frac{\ln r_1}{n}} \to 1 \)；\( (1+o(1))^{1/n} \) 的极限为 1 需利用 \( \ln(1+o(1))/n \to 0 \)。
步骤 5/5
目标：总结结论
两个极限都存在，且都等于多项式 \( f(x) \) 的最小正实根 \( r_1 \)。
公式：\lim_{n \to \infty} \frac{c_n}{c_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{c_n}} = r_1
提示：该结论表明，由对数导数展开的系数 \( c_n \) 的渐近行为完全由最小根决定，类似于幂级数收敛半径的柯西-阿达马公式。
步骤 6/6
目标：总结结论
两个极限均存在且等于多项式 $f(x)$ 的最小正根 $r_1$。
公式：\boxed{r_{\min}}
提示：最小根可能重根，但极限值不变。
步骤 7/8
目标：计算第二个极限
计算 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{c_n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{1/r^{n+1}}} = \lim_{n \to \infty} r^{(n+1)/n} = r$。
公式：\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{c_n}} = r
提示：注意 $\sqrt[n]{c_n} \sim \frac{1}{r^{(n+1)/n}}$，指数 $\frac{n+1}{n} \to 1$。
步骤 8/8
目标：结论
因此两个极限都存在且等于最小根 $r$。
提示：极限值与根的顺序无关，只依赖于最小根。
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