南京师范大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
四、（15 分）证明：（1）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$ 发散。
（2）数列 $\displaystyle x_{n}=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}-2 \sqrt{n} \quad(n=1,2, \cdots)$ 收敛．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明级数∑(1/√n)发散
考虑正项级数∑_{n=1}^∞ 1/√n，其通项a_n=1/√n。由于函数f(x)=1/√x在[1,+∞)上单调递减且非负，由积分判别法，该级数与反常积分∫_1^{+∞} 1/√x dx同敛散。计算积分：∫_1^{+∞} x^{-1/2} dx = lim_{b→+∞} [2√x]_1^b = lim_{b→+∞} (2√b - 2) = +∞，积分发散，故原级数发散。
公式：\int_1^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = \lim_{b\to +\infty} (2\sqrt{b} - 2) = +\infty
提示：注意积分判别法的适用条件：正项且单调递减。
步骤 2/4
目标：定义数列x_n并分析其单调性
设x_n = ∑_{k=1}^n 1/√k - 2√n。考虑相邻两项的差：x_{n+1} - x_n = 1/√(n+1) - 2(√(n+1) - √n)。对√(n+1) - √n进行有理化：√(n+1) - √n = 1/(√(n+1)+√n)。代入得：x_{n+1} - x_n = 1/√(n+1) - 2/(√(n+1)+√n)。通分后分子为(√(n+1)+√n) - 2√(n+1) = √n - √(n+1) < 0，因此x_{n+1} - x_n < 0，数列严格递减。
公式：x_{n+1} - x_n = \frac{1}{\sqrt{n+1}} - \frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n} - \sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})} < 0
提示：有理化技巧常用于处理根号差，注意分母正负判断。
步骤 3/4
目标：利用积分估计证明数列有下界
由于函数1/√x在[1,+∞)上递减，对任意k≥1，有1/√(k+1) ≤ ∫_k^{k+1} dx/√x ≤ 1/√k。从k=1到n-1求和得：∑_{k=1}^{n-1} 1/√(k+1) ≤ ∫_1^n dx/√x ≤ ∑_{k=1}^{n-1} 1/√k。左边为∑_{j=2}^n 1/√j，右边为∑_{k=1}^{n-1} 1/√k，积分值为2√n - 2。由右边不等式：2√n - 2 ≤ ∑_{k=1}^{n-1} 1/√k，两边加1/√n得：2√n - 2 + 1/√n ≤ ∑_{k=1}^n 1/√k。因此x_n = ∑_{k=1}^n 1/√k - 2√n ≥ -2 + 1/√n > -2，故数列有下界-2。
公式：x_n \geq -2 + \frac{1}{\sqrt{n}} > -2
提示：积分估计时注意求和上下界与积分区间对应，避免符号错误。
步骤 4/4
目标：由单调有界定理得出数列收敛
已证数列{x_n}严格递减且有下界（例如-2），根据单调有界定理，单调递减且有下界的数列必收敛。因此数列{x_n}收敛。
公式：\text{单调递减且有下界} \Rightarrow \text{收敛}
提示：单调有界定理是判断数列收敛的常用方法，需同时验证单调性和有界性。
步骤 5/5
目标：应用单调有界定理
数列 $\{x_n\}$ 单调递减且有下界（例如 $-2$），由单调有界定理知数列收敛。
提示：单调有界定理是数列收敛的充分条件，注意需要同时满足单调和有界。
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