南京师范大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
一、（15分）计算下列极限
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[(n+1)^{\alpha}-n^{\alpha}\right] \quad(0<\alpha<1)$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x \times \sqrt{\cos 2 x}}{x^{2}}$ ；
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n+1}{n^{2}+1^{2}}+\frac{n+\frac{1}{2}}{n^{2}+2^{2}}+\cdots+\frac{n+\frac{1}{n}}{n^{2}+n^{2}}\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算极限 (1): lim_{n→∞} [(n+1)^α - n^α], 0<α<1
方法一：使用拉格朗日中值定理。令 f(x)=x^α，则 f'(x)=αx^{α-1}。由中值定理，存在 ξ∈(n, n+1) 使得 (n+1)^α - n^α = f'(ξ)·1 = αξ^{α-1}。由于 α-1<0，当 n→∞ 时 ξ→∞，故 ξ^{α-1}→0，因此极限为 0。
方法二：代数变形。提取 n^α： (n+1)^α - n^α = n^α[(1+1/n)^α - 1]。利用等价无穷小 (1+x)^α - 1 ~ αx (x→0)，得 ~ n^α·(α/n) = αn^{α-1} → 0。
公式：(n+1)^α - n^α = αξ^{α-1} (ξ∈(n,n+1)) 或 n^α[(1+1/n)^α - 1] ~ αn^{α-1}
提示：注意 α-1<0，所以 n^{α-1}→0；等价无穷小替换时需确认 n→∞ 时 1/n→0。
步骤 2/3
目标：计算极限 (2): lim_{x→0} [1 - cos x · √(cos 2x)] / x^2
使用泰勒展开到 x^4 项。
cos x = 1 - x^2/2 + x^4/24 + o(x^4)
cos 2x = 1 - 2x^2 + (2/3)x^4 + o(x^4)
√(cos 2x) = (1 + u)^{1/2}，其中 u = -2x^2 + (2/3)x^4 + o(x^4)
展开：√(cos 2x) = 1 + u/2 - u^2/8 + o(u^2) = 1 - x^2 - (1/6)x^4 + o(x^4)
相乘：cos x · √(cos 2x) = [1 - x^2/2 + x^4/24]·[1 - x^2 - x^4/6] = 1 - (3/2)x^2 + (3/8)x^4 + o(x^4)
分子：1 - 上式 = (3/2)x^2 - (3/8)x^4 + o(x^4)
除以 x^2： (3/2) - (3/8)x^2 + o(x^2) → 3/2
公式：cos x = 1 - x^2/2 + x^4/24 + o(x^4); √(1+u) = 1 + u/2 - u^2/8 + o(u^2)
提示：展开到 x^4 项是因为分母是 x^2，且分子中 x^2 项可能抵消，需更高阶项确定结果。注意 u 的平方项贡献。
步骤 3/3
目标：计算极限 (3): lim_{n→∞} Σ_{k=1}^n (n + 1/k) / (n^2 + k^2)
将和式拆为两部分：
S = Σ_{k=1}^n n/(n^2+k^2) + Σ_{k=1}^n (1/k)/(n^2+k^2)
第一部分：Σ n/(n^2+k^2) = (1/n) Σ 1/[1+(k/n)^2] → ∫_0^1 dx/(1+x^2) = arctan x|_0^1 = π/4
第二部分：由于分母 n^2+k^2 ≥ n^2，分子 1/k ≤ 1，故每一项 ≤ 1/n^2，总和 ≤ n·(1/n^2) = 1/n → 0
因此原极限 = π/4
公式：Σ_{k=1}^n n/(n^2+k^2) = (1/n) Σ 1/[1+(k/n)^2] → ∫_0^1 dx/(1+x^2) = π/4
提示：注意黎曼和的形式：将 n 提取为 1/n 因子，并令 x_k = k/n；第二部分用放缩法证明趋于 0。
步骤 4/7
目标：计算极限 (3)：将和式拆分为两部分
通项为 \(\frac{n + \frac{1}{k}}{n^2 + k^2}\)，拆分为：
\[
\frac{n}{n^2+k^2} + \frac{1/k}{n^2+k^2}
\]
总和为：
\[
S_n = \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k^2} + \sum_{k=1}^n \frac{1/k}{n^2+k^2}
\]
公式：\frac{n + 1/k}{n^2+k^2} = \frac{n}{n^2+k^2} + \frac{1/k}{n^2+k^2}
提示：拆分后便于分别处理，第一部分可化为黎曼和。
步骤 5/7
目标：计算极限 (3)：处理第一部分黎曼和
第一部分：
\[
\sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k^2} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{1+(k/n)^2}
\]
当 \(n \to \infty\) 时，这是黎曼和，极限为：
\[
\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan x \Big|_0^1 = \frac{\pi}{4}
\]
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x) \, dx
提示：注意将 \(n\) 提取为 \(1/n\) 因子，并识别出 \(f(x)=1/(1+x^2)\)。
步骤 6/7
目标：计算极限 (3)：证明第二部分趋于零
第二部分：
\[
0 \le \sum_{k=1}^n \frac{1/k}{n^2+k^2} \le \sum_{k=1}^n \frac{1}{n^2+k^2}
\]
（因为 \(0 < 1/k \le 1\)）
而：
\[
\sum_{k=1}^n \frac{1}{n^2+k^2} \le \sum_{k=1}^n \frac{1}{n^2} = \frac{1}{n} \to 0
\]
由夹逼定理，第二部分极限为 0。
公式：0 \le \sum_{k=1}^n \frac{1/k}{n^2+k^2} \le \frac{1}{n} \to 0
提示：放缩时注意分母 \(n^2+k^2 \ge n^2\)，分子 \(1/k \le 1\)。
步骤 7/7
目标：汇总三个极限的结果
综合以上计算：
（1）极限为 \(0\)；
（2）极限为 \(\frac{3}{2}\)；
（3）极限为 \(\frac{\pi}{4}\)。
公式：\text{答案：}(1) 0, \quad (2) \frac{3}{2}, \quad (3) \frac{\pi}{4}
提示：检查每个极限是否满足条件，如 \(\alpha\) 的范围、分母是否为零等。
步骤 8/8
目标：第（3）小题：综合结果
原极限 = lim_{n→∞} (S1 + S2) = π/4 + 0 = π/4。
公式：原极限 = π/4
提示：两部分极限独立存在，可直接相加。
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