南京师范大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
七、（15 分）（1）叙述函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在区间 $I$ 上不一致收玫的柯西准则。
（2）讨论函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x e^{-n x^{2}}$ 在区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 及 $\displaystyle [a,+\infty)$ ，
$\displaystyle (a>0)$ 上的一致收玫性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：叙述函数项级数不一致收敛的柯西准则
函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 在区间 $I$ 上不一致收敛的柯西准则为：存在某个 $\varepsilon_0 > 0$，使得对任意正整数 $N$，总存在 $m > n \ge N$ 以及某个 $x_0 \in I$，满足 $\left| \sum_{k=n+1}^{m} u_k(x_0) \right| \ge \varepsilon_0$。
公式：$\exists \varepsilon_0>0,\forall N\in\mathbb{N},\exists m>n\ge N,\exists x_0\in I: \left|\sum_{k=n+1}^m u_k(x_0)\right|\ge\varepsilon_0$
提示：注意与一致收敛的柯西准则对比：一致收敛要求对任意 $\varepsilon>0$，存在公共的 $N$ 使得对所有 $x$ 和 $m>n\ge N$ 都成立；不一致收敛则是存在某个 $\varepsilon_0$ 使得这个公共 $N$ 不存在。
步骤 2/5
目标：写出级数并分析第一项
考虑函数项级数 $\sum_{n=0}^{\infty} x e^{-n x^{2}}$。当 $n=0$ 时，项为 $x e^{0}=x$，所以第一项就是 $x$。
公式：$u_0(x)=x$
提示：注意求和从 $n=0$ 开始，不要忽略第一项。
步骤 3/5
目标：推导部分和与和函数
部分和 $S_N(x)=\sum_{n=0}^{N} x e^{-n x^{2}} = x \cdot \frac{1 - e^{-(N+1)x^2}}{1 - e^{-x^2}}$（$x>0$）。当 $N\to\infty$，$e^{-(N+1)x^2}\to 0$，和函数 $S(x)=\frac{x}{1 - e^{-x^2}}$。余项 $R_N(x)=S(x)-S_N(x)=x \cdot \frac{e^{-(N+1)x^2}}{1 - e^{-x^2}}$。
公式：$S_N(x)=x\frac{1-e^{-(N+1)x^2}}{1-e^{-x^2}},\quad S(x)=\frac{x}{1-e^{-x^2}},\quad R_N(x)=x\frac{e^{-(N+1)x^2}}{1-e^{-x^2}}$
提示：使用等比数列求和公式时，注意公比为 $e^{-x^2}$，且 $x>0$ 时 $|e^{-x^2}|<1$。
步骤 4/5
目标：讨论在 $(0,+\infty)$ 上的一致收敛性
考虑 $x$ 很小的情况。利用近似 $1-e^{-x^2}\sim x^2$，则 $R_N(x)\approx \frac{e^{-(N+1)x^2}}{x}$。取 $x=\frac{1}{\sqrt{N+1}}$，则 $R_N\left(\frac{1}{\sqrt{N+1}}\right)\approx \frac{e^{-1}}{1/\sqrt{N+1}}=\sqrt{N+1}\,e^{-1}\to\infty$（$N\to\infty$）。因此 $\sup_{x>0}|R_N(x)|$ 不趋于 $0$，级数在 $(0,+\infty)$ 上不一致收敛。
公式：$R_N\left(\frac{1}{\sqrt{N+1}}\right)\approx \sqrt{N+1}\,e^{-1}\to\infty$
提示：关键在于找到使余项不趋于0的点列，常用方法是取 $x$ 与 $N$ 相关的特殊值。
步骤 5/5
目标：讨论在 $[a,+\infty)$（$a>0$）上的一致收敛性
当 $x\ge a>0$ 时，分母 $1-e^{-x^2}\ge 1-e^{-a^2}>0$。分子 $x e^{-(N+1)x^2}$ 在 $x\ge a$ 上递减（因为最大值点 $x=\frac{1}{\sqrt{2(N+1)}}$ 当 $N$ 充分大时小于 $a$），所以 $\sup_{x\ge a} x e^{-(N+1)x^2}=a e^{-(N+1)a^2}$。于是 $\sup_{x\ge a}|R_N(x)|\le \frac{a e^{-(N+1)a^2}}{1-e^{-a^2}}\to 0$（$N\to\infty$）。因此级数在 $[a,+\infty)$ 上一致收敛。
公式：$\sup_{x\ge a}|R_N(x)|\le \frac{a e^{-(N+1)a^2}}{1-e^{-a^2}}\to 0$
提示：注意分母有正下界，分子在区间上单调递减，从而可以放缩得到一致收敛。
步骤 6/6
目标：总结结论
综合以上讨论：函数项级数 $\sum_{n=0}^{\infty} x e^{-n x^{2}}$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上不一致收敛，在区间 $[a,+\infty)$（$a>0$）上一致收敛。
公式：无
提示：一致收敛性依赖于区间端点是否包含0，因为 $x\to 0^+$ 时级数行为恶化。
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