南京师范大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
三、（15 分）（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内可导，$\displaystyle f(a)=0$ ，且导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内可积．证明：
$$
|f(x)| \leq \int_{a}^{x}\left|f^{\prime}(t)\right| d t ; x \in[a, b]
$$
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 内连续可导．试证：
$$
|f(x)| \leq \int_{0}^{1}\left[|f(t)|+\left|f^{\prime}(t)\right|\right] d t, \quad x \in[0,1]
$$
四 、（15 分 ）设 $f$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上可导，$\displaystyle f(0)=1, f(-1)=f(1)=0$ ．证 明 ：对 任 给 $\displaystyle a \in(-1,1), \quad \exists \xi \in(-1,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=a$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明三（1）中的不等式
由微积分基本定理，因为 $f$ 在 $[a,b]$ 上可导且 $f'(x)$ 可积，且 $f(a)=0$，所以有 $f(x) = f(a) + \int_a^x f'(t) dt = \int_a^x f'(t) dt$。两边取绝对值，并利用绝对值不等式 $\left|\int_a^x g(t) dt\right| \leq \int_a^x |g(t)| dt$，得到 $|f(x)| \leq \int_a^x |f'(t)| dt$。
公式：$f(x) = \int_a^x f'(t) dt$, $|f(x)| \leq \int_a^x |f'(t)| dt$
提示：注意微积分基本定理的使用条件是 $f'$ 可积，题目已给出。绝对值不等式是积分的基本性质。
步骤 2/4
目标：证明三（2）中的不等式
对任意固定的 $x \in [0,1]$，由微积分基本定理，对任意 $t \in [0,1]$ 有 $f(x) = f(t) + \int_t^x f'(s) ds$。取绝对值并放缩：$|f(x)| \leq |f(t)| + \left|\int_t^x f'(s) ds\right| \leq |f(t)| + \int_0^1 |f'(s)| ds$。两边对 $t$ 在 $[0,1]$ 上积分，左边为 $\int_0^1 |f(x)| dt = |f(x)|$，右边为 $\int_0^1 |f(t)| dt + \int_0^1 \left(\int_0^1 |f'(s)| ds\right) dt = \int_0^1 |f(t)| dt + \int_0^1 |f'(s)| ds$。因此 $|f(x)| \leq \int_0^1 [|f(t)| + |f'(t)|] dt$。
公式：$f(x) = f(t) + \int_t^x f'(s) ds$, $|f(x)| \leq |f(t)| + \int_0^1 |f'(s)| ds$
提示：关键步骤是将 $|f(x)|$ 用 $|f(t)|$ 和 $f'$ 的积分控制，然后对 $t$ 积分消去 $t$ 的依赖。注意积分路径长度不超过1，因此可以用整个区间上的积分放大。
步骤 3/4
目标：证明四：构造辅助函数并分析端点值
令 $g(x) = f(x) - ax$，则 $g'(x) = f'(x) - a$。要证存在 $\xi$ 使 $f'(\xi)=a$，即证 $g'(\xi)=0$。计算端点值：$g(-1)=f(-1)-a(-1)=0+a=a$，$g(1)=f(1)-a(1)=0-a=-a$，$g(0)=f(0)-0=1$。
公式：$g(x)=f(x)-ax$, $g(-1)=a$, $g(1)=-a$, $g(0)=1$
提示：辅助函数 $g(x)$ 的构造是处理导数等于某常数的典型方法，将问题转化为导数为零。
步骤 4/4
目标：证明四：分情况讨论并应用罗尔定理
分情况：
1. 若 $a=0$，由 $f(-1)=f(1)=0$，直接由罗尔定理知存在 $\xi \in (-1,1)$ 使 $f'(\xi)=0$。
2. 若 $a>0$，则 $g(-1)=a>0$，$g(1)=-a<0$，由介值定理存在 $c \in (-1,1)$ 使 $g(c)=0$。又 $g(0)=1>0$，而 $g(1)<0$，故存在 $d \in (0,1)$ 使 $g(d)=0$。在区间 $[c,d]$（或适当排序）上，$g(c)=g(d)=0$，由罗尔定理存在 $\xi$ 使 $g'(\xi)=0$，即 $f'(\xi)=a$。
3. 若 $a<0$，类似地，$g(-1)=a<0$，$g(1)=-a>0$，可找到两个零点（一个在 $(-1,0)$，一个在 $(0,1)$），再用罗尔定理得证。
公式：罗尔定理：若 $g(c)=g(d)$，则存在 $\xi$ 使 $g'(\xi)=0$
提示：注意 $a \in (-1,1)$ 保证了 $g(-1)$ 和 $g(1)$ 异号，从而能利用介值定理找到零点。$g(0)=1$ 保证了零点不在同侧，从而有两个不同零点。
步骤 5/5
目标：证明四：应用达布定理（导数的介值性）
由于 $f$ 可导，其导函数 $f'$ 具有介值性（达布定理）。已知 $f'(\xi_1)=1$ 和 $f'(\xi_2)=-1$，且 $-1 < a < 1$，故 $a$ 介于 $-1$ 和 $1$ 之间。由达布定理，在 $\xi_1$ 与 $\xi_2$ 之间（即 $(-1,1)$ 内）存在一点 $\xi$，使得 $f'(\xi) = a$。
公式：\exists \xi \in (-1,1), \quad f'(\xi) = a
提示：达布定理不要求导函数连续，只要求原函数可导。
步骤 6/8
目标：证明第四题：分情况讨论 $a=0$
若 $a=0$，则 $g(-1)=0$，$g(1)=0$。由罗尔定理，存在 $\xi \in (-1,1)$ 使得 $g'(\xi)=0$，即 $f'(\xi)=0=a$。
公式：罗尔定理
提示：注意 $g$ 在 $[-1,1]$ 上可导，满足罗尔定理条件。
步骤 7/8
目标：证明第四题：分情况讨论 $a>0$
若 $a>0$，则 $g(-1)=a>0$，$g(1)=-a<0$。由零点定理，存在 $c \in (-1,1)$ 使得 $g(c)=0$。又 $g(0)=1>0$，故 $c \neq 0$。不妨设 $c \in (0,1)$（若 $c \in (-1,0)$ 类似），则 $g(0)=1>0$，$g(c)=0$，由罗尔定理，存在 $\xi \in (0,c) \subset (-1,1)$ 使得 $g'(\xi)=0$，即 $f'(\xi)=a$。
公式：零点定理、罗尔定理
提示：注意 $c$ 可能为负，但对称处理即可。
步骤 8/8
目标：证明第四题：分情况讨论 $a<0$
若 $a<0$，则 $g(-1)=a<0$，$g(1)=-a>0$。类似地，存在 $c \in (-1,1)$ 使得 $g(c)=0$。由于 $g(0)=1>0$，故 $c \in (-1,0)$。在 $[c,0]$ 上应用罗尔定理，存在 $\xi \in (c,0) \subset (-1,1)$ 使得 $g'(\xi)=0$，即 $f'(\xi)=a$。
公式：零点定理、罗尔定理
提示：注意 $a<0$ 时 $g(-1)<0$，$g(1)>0$，零点 $c$ 在 $(-1,1)$ 内。
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