南京师范大学 2020年数学分析第0题

曲面方程为 $1-\frac{z}{5}=\frac{(x-2)^2}{16}+\frac{(y-1)^2}{9}$，即 $\frac{(x-2)^2}{16}+\frac{(y-1)^2}{9}+\frac{z}{5}=1$，且 $z\ge 0$。这是中心在 $(2,1,0)$、$z$ 方向半轴为 $5$ 的椭球面的上半部分。方向取上侧，即法向量指向 $z$ 正向。被积表达式对应向量场 $\mathbf{F}=\left(\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}},\frac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}},\frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\right)$，原点 $(0,0,0)$ 是奇点。由于曲面不封闭，不能直接使用高斯公式，需补面处理。

补上底面 $D$：$z=0$ 上由椭圆 $\frac{(x-2)^2}{16}+\frac{(y-1)^2}{9}=1$ 围成的区域。为使封闭曲面 $\Sigma' = S \cup D$ 取外侧，$S$ 取上侧（已给），$D$ 应取下侧（即法向量指向 $z$ 负向）。这样 $\Sigma'$ 包围的区域 $V$ 是上半椭球体。

计算 $\nabla \cdot \mathbf{F}$：$\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{r^3}\right)=\frac{1}{r^3}-\frac{3x^2}{r^5}$，同理对 $y,z$ 求和得 $\frac{3}{r^3}-\frac{3(x^2+y^2+z^2)}{r^5}=0$（$r\neq 0$）。但原点 $(0,0,0)$ 是否在 $V$ 内？检查：$z=0$ 时，$\frac{(0-2)^2}{16}+\frac{(0-1)^2}{9}=\frac{4}{16}+\frac{1}{9}=0.361<1$，故原点在底面椭圆内部，即原点在 $V$ 的边界上，散度在此处无定义，不能直接应用高斯公式。

注意到 $\iint_\Sigma \frac{x dy dz + y dz dx + z dx dy}{r^3} = \iint_\Sigma \frac{\mathbf{r}\cdot \mathbf{n}}{r^3} dS$，这正是曲面 $\Sigma$ 对原点所张的立体角 $\Omega$（带符号，由法向决定）。由于原点在底面椭圆内部，从原点出发的射线穿过椭圆盘区域后打到曲面 $S$ 上，因此 $S$ 对原点所张的立体角等于底面椭圆盘 $D$ 对原点所张的立体角（但方向相反）。

底面 $D$ 在 $z=0$ 平面上，法向量为 $(0,0,-1)$（下侧）。从原点看向 $D$，立体角公式为 $\Omega_D = \iint_D \frac{|\mathbf{n}\cdot \mathbf{r}|}{r^3} dS$。由于 $\mathbf{n}\cdot \mathbf{r} = (0,0,-1)\cdot(x,y,0)=0$，直接计算得 $\Omega_D=0$？这显然不对，因为 $D$ 是一个平面区域，原点在其内部，立体角应为 $2\pi$（半球面投影）。错误在于：立体角公式中 $\mathbf{n}$ 应取曲面的法向，但这里我们计算的是 $D$ 作为曲面本身对原点的立体角，而 $D$ 是平面，原点在平面上，立体角应为 $2\pi$（即半个空间）。正确做法：将 $D$ 视为 $z=0$ 平面上的圆盘，从原点看，它覆盖了所有方向中 $z>0$ 的一半，立体角为 $2\pi$。更严谨地，考虑以原点为球心的单位球面，$D$ 在球面上的投影是整个上半球面，面积为 $2\pi$。

由于 $S$ 取上侧，法向指向 $z$ 正向，从原点看，$S$ 上的点满足 $z>0$，且 $\mathbf{r}\cdot \mathbf{n}>0$，故 $S$ 对原点的立体角为正。而 $S$ 与底面 $D$（取下侧）构成封闭曲面，但原点在边界上，不能直接用高斯公式。但由立体角性质，$S$ 对原点的立体角等于底面 $D$ 对原点的立体角（因为从原点出发的射线穿过 $D$ 后必打到 $S$ 上，且 $S$ 是单值曲面）。而 $D$ 对原点的立体角为 $2\pi$（原点在 $D$ 内部），因此原曲面积分 $\iint_S \frac{x dy dz + y dz dx + z dx dy}{r^3} = 2\pi$。