南京师范大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
五、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 0 点的某邻域内二阶连续可微，且 $\displaystyle f(0), f^{\prime}(0), f^{\prime \prime}(0)$ 均不为 0 ．证明存在唯一组实数 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ ，使得
$$
\lambda_{1} f(h)+\lambda_{2} f(2 h)+\lambda_{3} f(4 h)-f(0)=o\left(h^{2}\right)
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将f(h)、f(2h)、f(4h)在h=0处泰勒展开到二阶
由于f(x)在0点的某邻域内二阶连续可微，可写出带Peano余项的泰勒展开：
$$f(h)=f(0)+f'(0)h+\frac{f''(0)}{2}h^2+o(h^2)$$
$$f(2h)=f(0)+2f'(0)h+2f''(0)h^2+o(h^2)$$
$$f(4h)=f(0)+4f'(0)h+8f''(0)h^2+o(h^2)$$
公式：$$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2}x^2+o(x^2)$$
提示：注意展开时系数要正确，例如(2h)^2=4h^2，再乘以1/2得2h^2；类似地(4h)^2=16h^2，乘以1/2得8h^2。
步骤 2/5
目标：代入表达式并合并同类项
设$$S(h)=\lambda_1 f(h)+\lambda_2 f(2h)+\lambda_3 f(4h)-f(0)$$代入展开式，合并常数项、h项和h²项：
常数项：$(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)f(0)-f(0)$
h项：$f'(0)(\lambda_1+2\lambda_2+4\lambda_3)h$
h²项：$f''(0)\left(\frac{\lambda_1}{2}+2\lambda_2+8\lambda_3\right)h^2$
因此$$S(h)=[(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3-1)f(0)]+[(\lambda_1+2\lambda_2+4\lambda_3)f'(0)]h+\left[\left(\frac{\lambda_1}{2}+2\lambda_2+8\lambda_3\right)f''(0)\right]h^2+o(h^2)$$
公式：$$S(h)=A f(0)+B f'(0)h+C f''(0)h^2+o(h^2)$$其中A、B、C为λ的线性组合。
提示：合并时注意不要遗漏f(0)前的负号，以及各项系数要准确。
步骤 3/5
目标：令低阶项系数为零，建立方程组
要使$S(h)=o(h^2)$，必须让常数项和h项系数为零，且h²项系数也为零（否则S(h)的主部是h²阶，不是高阶无穷小）。由于$f(0),f'(0),f''(0)$均不为0，得到方程组：
(1) $\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1$
(2) $\lambda_1+2\lambda_2+4\lambda_3=0$
(3) $\frac{\lambda_1}{2}+2\lambda_2+8\lambda_3=0$
公式：$$\begin{cases}\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1\\\lambda_1+2\lambda_2+4\lambda_3=0\\\frac{\lambda_1}{2}+2\lambda_2+8\lambda_3=0\end{cases}$$
提示：注意常数项是$\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3-1=0$，移项得$\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1$。
步骤 4/5
目标：解方程组求λ₁、λ₂、λ₃
由(1)和(2)相减得：$(\lambda_1+2\lambda_2+4\lambda_3)-(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)=0-1$，即$\lambda_2+3\lambda_3=-1$，所以$\lambda_2=-1-3\lambda_3$。代入(1)：$\lambda_1+(-1-3\lambda_3)+\lambda_3=1$，得$\lambda_1=2+2\lambda_3$。代入(3)：$\frac{2+2\lambda_3}{2}+2(-1-3\lambda_3)+8\lambda_3=0$，化简得$(1+\lambda_3)-2-6\lambda_3+8\lambda_3=0$，即$-1+3\lambda_3=0$，解得$\lambda_3=\frac{1}{3}$。回代得$\lambda_2=-2$，$\lambda_1=\frac{8}{3}$。
公式：$$\lambda_1=\frac{8}{3},\quad \lambda_2=-2,\quad \lambda_3=\frac{1}{3}$$
提示：解线性方程组时注意运算符号，避免符号错误。
步骤 5/5
目标：说明唯一性
方程组系数矩阵为3×3，且由于$f(0),f'(0),f''(0)$均不为0，三个方程线性无关，因此解唯一。
公式：无
提示：唯一性依赖于f(0)、f'(0)、f''(0)非零的条件，否则方程组可能退化。
步骤 6/6
目标：唯一性说明
方程组系数矩阵的行列式不为零（可计算验证），因此解是唯一的。同时，由于 \(f(0), f'(0), f''(0)\) 均非零，我们推导出的三个条件是必要的，从而保证了 \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\) 的唯一性。
公式：\[\det\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ \frac12 & 2 & 8\end{pmatrix} \neq 0\]
提示：唯一性依赖于系数矩阵满秩，以及 \(f(0), f'(0), f''(0)\) 非零的条件，否则可能有无穷多解或不需要消去所有项。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此存在唯一一组实数 $\lambda_1 = \frac{8}{3}, \lambda_2 = -2, \lambda_3 = \frac{1}{3}$ 满足条件。
提示：注意答案的表示形式。
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