南京师范大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
八、（15 分）设平面薄板为区域 $D$ ，其中 $D$ 由坐标轴及曲线 $\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ 围成，平面薄板的密度函数 $\displaystyle \rho(x, y)=\sqrt{x}+\sqrt{y}$ ．求此平面薄板的质量．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定积分区域
曲线方程为 $\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$，由坐标轴 $x=0$，$y=0$ 及该曲线围成区域 $D$。由 $\sqrt{y}=1-\sqrt{x}$ 得 $y=(1-\sqrt{x})^2$，且 $x$ 的范围为 $0\le x\le 1$。因此区域 $D$ 可表示为：$0\le x\le 1$，$0\le y\le (1-\sqrt{x})^2$。
公式：$y=(1-\sqrt{x})^2,\quad 0\le x\le 1$
提示：注意曲线与坐标轴的交点：当 $x=0$ 时 $y=1$；当 $y=0$ 时 $x=1$。
步骤 2/6
目标：写出质量积分表达式
质量 $M=\iint_D \rho(x,y)\,dA$，其中密度 $\rho(x,y)=\sqrt{x}+\sqrt{y}$。代入区域得：
$$M=\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{(1-\sqrt{x})^2}(\sqrt{x}+\sqrt{y})\,dy\,dx$$
公式：$M=\int_0^1\int_0^{(1-\sqrt{x})^2}(\sqrt{x}+\sqrt{y})\,dy\,dx$
提示：二重积分化为累次积分时，先对 $y$ 积分，再对 $x$ 积分。
步骤 3/6
目标：计算内层对 y 的积分
内层积分：
$$\int_0^{(1-\sqrt{x})^2}(\sqrt{x}+\sqrt{y})\,dy = \sqrt{x}\cdot y\Big|_0^{(1-\sqrt{x})^2} + \int_0^{(1-\sqrt{x})^2} y^{1/2}\,dy$$
$$= \sqrt{x}(1-\sqrt{x})^2 + \frac{2}{3}y^{3/2}\Big|_0^{(1-\sqrt{x})^2} = \sqrt{x}(1-\sqrt{x})^2 + \frac{2}{3}\left[(1-\sqrt{x})^2\right]^{3/2}$$
由于 $1-\sqrt{x}\ge 0$，$\left[(1-\sqrt{x})^2\right]^{3/2}=(1-\sqrt{x})^3$，所以结果为：
$$\sqrt{x}(1-\sqrt{x})^2 + \frac{2}{3}(1-\sqrt{x})^3$$
公式：$\int_0^{(1-\sqrt{x})^2}(\sqrt{x}+\sqrt{y})\,dy = \sqrt{x}(1-\sqrt{x})^2 + \frac{2}{3}(1-\sqrt{x})^3$
提示：注意 $(1-\sqrt{x})^2$ 的 $3/2$ 次方化简时，底数非负，可直接写成 $(1-\sqrt{x})^3$。
步骤 4/6
目标：对外层 x 积分并换元
外层积分为：
$$M = \int_0^1\left[\sqrt{x}(1-\sqrt{x})^2 + \frac{2}{3}(1-\sqrt{x})^3\right]dx$$
令 $t=\sqrt{x}$，则 $x=t^2$，$dx=2t\,dt$，$x:0\to 1$ 对应 $t:0\to 1$。代入得：
第一项：$\sqrt{x}(1-\sqrt{x})^2\,dx = t(1-t)^2\cdot 2t\,dt = 2t^2(1-t)^2\,dt$
第二项：$\frac{2}{3}(1-\sqrt{x})^3\,dx = \frac{2}{3}(1-t)^3\cdot 2t\,dt = \frac{4}{3}t(1-t)^3\,dt$
因此
$$M = \int_0^1\left[2t^2(1-t)^2 + \frac{4}{3}t(1-t)^3\right]dt$$
公式：$M = \int_0^1\left[2t^2(1-t)^2 + \frac{4}{3}t(1-t)^3\right]dt$
提示：换元时注意 $dx$ 的变换，以及积分限的对应。
步骤 5/6
目标：展开被积函数并合并同类项
展开第一项：$2t^2(1-t)^2 = 2t^2(1-2t+t^2) = 2t^2 - 4t^3 + 2t^4$
展开第二项：$\frac{4}{3}t(1-t)^3 = \frac{4}{3}t(1-3t+3t^2-t^3) = \frac{4}{3}t - 4t^2 + 4t^3 - \frac{4}{3}t^4$
合并同类项：
$t$ 项：$\frac{4}{3}t$
$t^2$ 项：$2t^2 - 4t^2 = -2t^2$
$t^3$ 项：$-4t^3 + 4t^3 = 0$
$t^4$ 项：$2t^4 - \frac{4}{3}t^4 = \frac{2}{3}t^4$
所以被积函数为：$\frac{4}{3}t - 2t^2 + \frac{2}{3}t^4$
公式：$\frac{4}{3}t - 2t^2 + \frac{2}{3}t^4$
提示：展开时注意系数计算，合并同类项要仔细。
步骤 6/6
目标：逐项积分并求和
$$M = \int_0^1\left(\frac{4}{3}t - 2t^2 + \frac{2}{3}t^4\right)dt$$
$$= \frac{4}{3}\cdot\frac{1}{2}t^2\Big|_0^1 - 2\cdot\frac{1}{3}t^3\Big|_0^1 + \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{5}t^5\Big|_0^1$$
$$= \frac{2}{3} - \frac{2}{3} + \frac{2}{15} = \frac{2}{15}$$
公式：$M = \frac{2}{15}$
提示：逐项积分时注意幂函数积分公式 $\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}$。
步骤 7/8
目标：计算定积分
计算 $\int_0^1 (2u - 3u^2 + u^4) \, du = \left[ u^2 - u^3 + \frac{u^5}{5} \right]_0^1 = 1 - 1 + \frac{1}{5} = \frac{1}{5}$。因此 $M = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{15}$。
公式：\int_0^1 u^n \, du = \frac{1}{n+1}
提示：积分上下限代入时注意计算准确。
步骤 8/8
目标：给出最终答案
平面薄板的质量为 $\frac{2}{15}$。
提示：答案应化简为最简分数。
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