南京师范大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
六、（15 分）（1）证明： $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \sin x^{2} d x$ 条件收玫；（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \int_{x}^{x+1} \sin t^{2} d t=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明积分收敛
令 $t = x^2$，则 $x = \sqrt{t}$，$dx = \frac{1}{2\sqrt{t}} dt$，积分限变为 $t=1$ 到 $+\infty$，得到 $\int_{1}^{+\infty} \sin x^2 dx = \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin t}{2\sqrt{t}} dt$。由于 $\frac{1}{2\sqrt{t}}$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递减趋于 $0$，且 $\int_{1}^{A} \sin t dt$ 有界（$|\int_{1}^{A} \sin t dt| \leq 2$），由狄利克雷判别法知该积分收敛。
公式：\int_{1}^{+\infty} \sin x^2 dx = \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin t}{2\sqrt{t}} dt
提示：注意变量代换后要正确写出微分形式，并检查积分限的变化。
步骤 2/6
目标：证明非绝对收敛
考虑绝对值积分 $\int_{1}^{+\infty} |\sin x^2| dx = \int_{1}^{+\infty} \frac{|\sin t|}{2\sqrt{t}} dt$。在区间 $[k\pi, (k+1)\pi]$ 上，$|\sin t|$ 的积分至少为 $2$，而分母 $\sqrt{t} \leq \sqrt{(k+1)\pi}$，因此 $\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{|\sin t|}{2\sqrt{t}} dt \geq \frac{2}{2\sqrt{(k+1)\pi}} = \frac{1}{\sqrt{(k+1)\pi}}$，级数 $\sum \frac{1}{\sqrt{k}}$ 发散，故原积分非绝对收敛。
公式：\int_{1}^{+\infty} |\sin x^2| dx = \int_{1}^{+\infty} \frac{|\sin t|}{2\sqrt{t}} dt \text{ 发散}
提示：利用 $|\sin t|$ 的周期性下界估计，比较判别法判断发散。
步骤 3/6
目标：总结第一问结论
由前两步可知，$\int_{1}^{+\infty} \sin x^2 dx$ 收敛但不绝对收敛，故条件收敛。
步骤 4/6
目标：将第二问积分化为易处理形式
令 $u = t^2$，则 $t = \sqrt{u}$，$dt = \frac{1}{2\sqrt{u}} du$，当 $t$ 从 $x$ 到 $x+1$ 时，$u$ 从 $x^2$ 到 $(x+1)^2$，于是 $\int_{x}^{x+1} \sin t^2 dt = \int_{x^2}^{(x+1)^2} \frac{\sin u}{2\sqrt{u}} du$。
公式：\int_{x}^{x+1} \sin t^2 dt = \int_{x^2}^{(x+1)^2} \frac{\sin u}{2\sqrt{u}} du
提示：变量代换后注意积分区间长度变为 $2x+1$，随 $x$ 增大而增大。
步骤 5/6
目标：应用积分第二中值定理估计
函数 $\frac{1}{2\sqrt{u}}$ 在 $[x^2, (x+1)^2]$ 上单调递减，由积分第二中值定理，存在 $\xi \in [x^2, (x+1)^2]$ 使得：
$$\int_{x^2}^{(x+1)^2} \frac{\sin u}{2\sqrt{u}} du = \frac{1}{2\sqrt{x^2}} \int_{x^2}^{\xi} \sin u du + \frac{1}{2\sqrt{(x+1)^2}} \int_{\xi}^{(x+1)^2} \sin u du.$$
公式：\int_{x^2}^{(x+1)^2} \frac{\sin u}{2\sqrt{u}} du = \frac{1}{2x} \int_{x^2}^{\xi} \sin u du + \frac{1}{2(x+1)} \int_{\xi}^{(x+1)^2} \sin u du
提示：注意 $\sqrt{x^2}=x$，$\sqrt{(x+1)^2}=x+1$，且 $\xi$ 依赖于 $x$。
步骤 6/6
目标：估计积分绝对值并取极限
由于 $|\int_{a}^{b} \sin u du| = |\cos a - \cos b| \leq 2$，因此：
$$\left| \int_{x}^{x+1} \sin t^2 dt \right| \leq \frac{1}{2x} \cdot 2 + \frac{1}{2(x+1)} \cdot 2 = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1}.$$
当 $x \to +\infty$ 时，$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} \to 0$，故原极限为 $0$。
公式：\left| \int_{x}^{x+1} \sin t^2 dt \right| \leq \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} \to 0
提示：利用三角函数的积分有界性进行放缩，注意 $x$ 为正时 $x+1>0$。
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