南京师范大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
十、（15 分）设函数 $\displaystyle u=f(x, y, z)$ 在 $\displaystyle { }^{3}$ 上对变量 $z$ 连续，对变量 $y$（关于 $z$ ）一致
连续，且 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}$ 在口 $\displaystyle { }^{3}$ 上有界，证明：$\displaystyle u=f(x, y, z)$ 在 $\displaystyle { }^{3}$ 上连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确证明目标与整体思路
要证明 $f(x,y,z)$ 在 $\mathbb{R}^3$ 上连续，即对任意点 $(x_0,y_0,z_0)\in\mathbb{R}^3$ 和任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得当 $|x-x_0|<\delta,\,|y-y_0|<\delta,\,|z-z_0|<\delta$ 时，有 $|f(x,y,z)-f(x_0,y_0,z_0)|<\varepsilon$。我们采用三角不等式将增量分解为三个方向分别处理。
公式：$$|f(x,y,z)-f(x_0,y_0,z_0)|\leq |f(x,y,z)-f(x_0,y,z)|+|f(x_0,y,z)-f(x_0,y_0,z)|+|f(x_0,y_0,z)-f(x_0,y_0,z_0)|$$
提示：注意三角不等式的拆分顺序，要确保每个部分都能利用已知条件控制。
步骤 2/5
目标：利用 $\frac{\partial u}{\partial x}$ 有界处理 $x$ 方向变化
由条件，$\frac{\partial f}{\partial x}$ 在 $\mathbb{R}^3$ 上有界，设 $\left|\frac{\partial f}{\partial x}\right|\leq M$。对固定的 $y,z$，将 $f$ 视为 $x$ 的一元函数，由拉格朗日中值定理，存在介于 $x_0$ 与 $x$ 之间的 $\xi$，使得 $|f(x,y,z)-f(x_0,y,z)| = \left|\frac{\partial f}{\partial x}(\xi,y,z)\right||x-x_0| \leq M|x-x_0|$。因此只要取 $|x-x_0|<\frac{\varepsilon}{3M}$，就有第一项 $<\frac{\varepsilon}{3}$。
公式：$$|f(x,y,z)-f(x_0,y,z)| \leq M|x-x_0|$$
提示：拉格朗日中值定理要求函数在区间上可导，这里由偏导数存在且连续（有界）可保证。注意 $M$ 是全局上界。
步骤 3/5
目标：利用 $f$ 对 $z$ 连续处理 $z$ 方向变化
由条件，$f$ 对变量 $z$ 连续（固定 $x_0,y_0$ 时）。即对 $\varepsilon/3>0$，存在 $\delta_1>0$，使得当 $|z-z_0|<\delta_1$ 时，有 $|f(x_0,y_0,z)-f(x_0,y_0,z_0)|<\frac{\varepsilon}{3}$。
公式：$$\forall\varepsilon'>0,\,\exists\delta_1>0,\,|z-z_0|<\delta_1 \Rightarrow |f(x_0,y_0,z)-f(x_0,y_0,z_0)|<\varepsilon'$$
提示：这里 $z$ 的连续性是在固定 $x_0,y_0$ 的前提下，与 $y$ 方向的一致连续条件不同。
步骤 4/5
目标：利用 $f$ 对 $y$ 关于 $z$ 一致连续处理 $y$ 方向变化
条件“对变量 $y$（关于 $z$）一致连续”的含义是：固定 $x$（这里取 $x_0$），对任意 $\varepsilon'>0$，存在 $\delta_2>0$，使得对任意 $z$，只要 $|y-y_0|<\delta_2$，就有 $|f(x_0,y,z)-f(x_0,y_0,z)|<\varepsilon'$。这里 $\delta_2$ 不依赖于 $z$。取 $\varepsilon'=\varepsilon/3$，则当 $|y-y_0|<\delta_2$ 时，对任意 $z$（包括后续取定的靠近 $z_0$ 的 $z$）都有该差小于 $\varepsilon/3$。
公式：$$\forall\varepsilon'>0,\,\exists\delta_2>0,\,\forall z,\,|y-y_0|<\delta_2 \Rightarrow |f(x_0,y,z)-f(x_0,y_0,z)|<\varepsilon'$$
提示：注意“关于 $z$ 一致”意味着 $\delta_2$ 与 $z$ 无关，这是处理 $y$ 方向的关键。
步骤 5/5
目标：综合各步，选取统一的 $\delta$ 并完成证明
取 $\delta = \min\left\{\frac{\varepsilon}{3M},\,\delta_1,\,\delta_2\right\}$。当 $|x-x_0|<\delta,\,|y-y_0|<\delta,\,|z-z_0|<\delta$ 时，由前三步的估计，三项分别小于 $\varepsilon/3$，因此总和小于 $\varepsilon$。由 $(x_0,y_0,z_0)$ 的任意性，$f$ 在 $\mathbb{R}^3$ 上连续。
公式：$$|f(x,y,z)-f(x_0,y_0,z_0)| < \frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon$$
提示：注意 $\delta$ 必须同时满足三个条件，取最小值是常见技巧。另外，第二步中的 $z$ 在第三步中也被 $\delta_1$ 控制，但第三步的估计对任意 $z$ 成立，因此无需额外条件。
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