南京师范大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
1．设 $\displaystyle x_{n}=\frac{1}{3^{\ln n}}$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{x_{n}}{x_{n+1}}-1\right)$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出比值表达式
计算 $\frac{x_n}{x_{n+1}}$，由 $x_n = \frac{1}{3^{\ln n}}$ 得：
$$
\frac{x_n}{x_{n+1}} = \frac{1/3^{\ln n}}{1/3^{\ln (n+1)}} = 3^{\ln (n+1) - \ln n}.
$$
利用对数性质 $\ln (n+1) - \ln n = \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)$，所以
$$
\frac{x_n}{x_{n+1}} = 3^{\ln(1 + 1/n)}.
$$
公式：\frac{x_n}{x_{n+1}} = 3^{\ln(1 + 1/n)}
提示：注意对数运算：$\ln a - \ln b = \ln(a/b)$，这里 $a=n+1$，$b=n$。
步骤 2/5
目标：转化为指数形式
将 $3^{\ln(1+1/n)}$ 写成以 $e$ 为底的指数形式：
$$
3^{\ln(1+1/n)} = e^{\ln 3 \cdot \ln(1+1/n)}.
$$
于是
$$
\frac{x_n}{x_{n+1}} - 1 = e^{\ln 3 \cdot \ln(1+1/n)} - 1.
$$
公式：a^b = e^{b \ln a}
提示：这一步是为了后续使用等价无穷小 $e^u - 1 \sim u$ 做准备。
步骤 3/5
目标：利用等价无穷小展开
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n} \to 0$，因此
$$
\ln\left(1+\frac{1}{n}\right) \sim \frac{1}{n}.
$$
于是
$$
\ln 3 \cdot \ln\left(1+\frac{1}{n}\right) \sim \frac{\ln 3}{n}.
$$
又因为 $e^u - 1 \sim u$ 当 $u \to 0$，所以
$$
e^{\ln 3 \cdot \ln(1+1/n)} - 1 \sim \frac{\ln 3}{n}.
$$
公式：\ln(1+x) \sim x, \quad e^u - 1 \sim u \quad (x, u \to 0)
提示：注意等价无穷小替换的条件：变量趋于0。这里 $\ln(1+1/n) \to 0$，$\ln 3 \cdot \ln(1+1/n) \to 0$。
步骤 4/5
目标：代入原极限并求值
原极限为
$$
\lim_{n \to \infty} n\left( \frac{x_n}{x_{n+1}} - 1 \right) = \lim_{n \to \infty} n \cdot \frac{\ln 3}{n} = \ln 3.
$$
公式：\lim_{n \to \infty} n\left( \frac{x_n}{x_{n+1}} - 1 \right) = \ln 3
提示：等价无穷小替换后，$n$ 与 $1/n$ 相乘消去，得到常数。
步骤 5/5
目标：严谨确认极限
为了更严谨，可以写成乘积形式：
$$
\lim_{n\to\infty} n\left(3^{\ln(1+1/n)} - 1\right) = \lim_{n\to\infty} n \cdot \frac{3^{\ln(1+1/n)} - 1}{\ln(1+1/n)} \cdot \ln(1+1/n).
$$
令 $t = \ln(1+1/n)$，则当 $n\to\infty$ 时 $t\to 0$，且
$$
\lim_{t\to 0} \frac{3^t - 1}{t} = \ln 3,
$$
而 $n \ln(1+1/n) \to 1$，所以极限为 $\ln 3$。
公式：\lim_{t\to 0} \frac{a^t - 1}{t} = \ln a, \quad \lim_{n\to\infty} n\ln(1+1/n) = 1
提示：这种分步取极限的方法可以避免直接使用等价无穷小可能带来的不严谨。
步骤 6/7
目标：利用等价无穷小求极限
当$t\to 0$时，$3^t - 1 \sim t\ln 3$，$e^t - 1 \sim t$。因此$\lim_{t\to 0^+} \frac{3^t - 1}{e^t - 1} = \lim_{t\to 0^+} \frac{t\ln 3}{t} = \ln 3$。
公式：$a^t - 1 \sim t\ln a$，$e^t - 1 \sim t$
提示：等价无穷小替换时要注意条件，t趋近于0。
步骤 7/7
目标：得出最终结果
因此，原极限为$\ln 3$。
提示：最终答案要化简，不要写成$\ln 3$以外的形式。
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