南京师范大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
2． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}}{e}\right]^{\frac{1}{x}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设极限并取自然对数
设 $L = \lim\limits_{x \to 0} \left[\frac{(1+x)^{1/x}}{e}\right]^{1/x}$，两边取自然对数得 $\ln L = \lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln\left(\frac{(1+x)^{1/x}}{e}\right)$。
公式：$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln\left(\frac{(1+x)^{1/x}}{e}\right)$
提示：注意这是 $1^\infty$ 型不定式，取对数是常用方法。
步骤 2/5
目标：化简对数内部表达式
利用对数性质：$\ln\left(\frac{(1+x)^{1/x}}{e}\right) = \ln\left((1+x)^{1/x}\right) - \ln e = \frac{1}{x}\ln(1+x) - 1$。代入得 $\ln L = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x}\ln(1+x) - 1}{x}$。
公式：$\ln\left(\frac{(1+x)^{1/x}}{e}\right) = \frac{1}{x}\ln(1+x) - 1$
提示：不要忘记 $\ln e = 1$。
步骤 3/5
目标：化为常见极限形式
将分子通分：$\frac{\frac{1}{x}\ln(1+x) - 1}{x} = \frac{\ln(1+x) - x}{x^2}$，因此 $\ln L = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln(1+x) - x}{x^2}$，这是 $\frac{0}{0}$ 型不定式。
公式：$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x) - x}{x^2}$
提示：注意分子 $\ln(1+x)-x$ 在 $x=0$ 时为 $0$，分母也为 $0$，符合洛必达或泰勒展开条件。
步骤 4/5
目标：使用泰勒展开求极限
当 $x \to 0$ 时，$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$，所以 $\ln(1+x) - x = -\frac{x^2}{2} + O(x^3)$。于是 $\frac{\ln(1+x)-x}{x^2} = -\frac{1}{2} + O(x) \to -\frac{1}{2}$。
公式：$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + O(x^3)$
提示：泰勒展开到二阶即可，高阶项不影响极限。也可用洛必达法则验证。
步骤 5/5
目标：还原极限值
由 $\ln L = -\frac{1}{2}$，得 $L = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$。
公式：$L = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$
提示：最后不要忘记取指数还原。
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