南京师范大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
3．设 $\displaystyle a_{n}=\frac{3}{2} \int_{0}^{\frac{n}{n+1}} x^{n-1} \sqrt{1+x^{n}} d x$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：化简被积函数，通过变量代换简化积分形式
令 $t = x^n$，则 $dt = n x^{n-1} dx$，即 $x^{n-1} dx = \frac{dt}{n}$。积分限：当 $x=0$ 时 $t=0$；当 $x = \frac{n}{n+1}$ 时 $t = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n$。代入原式得：
$$a_n = \frac{3}{2} \int_0^{\left(\frac{n}{n+1}\right)^n} \sqrt{1+t} \cdot \frac{dt}{n} = \frac{3}{2n} \int_0^{\left(\frac{n}{n+1}\right)^n} \sqrt{1+t} \, dt$$
公式：t = x^n, \quad x^{n-1} dx = \frac{dt}{n}
提示：注意换元时积分限的对应关系，以及 $x^{n-1}dx$ 与 $dt$ 的系数转换。
步骤 2/4
目标：计算定积分，得到 $a_n$ 的显式表达式
计算积分 $\int \sqrt{1+t} \, dt = \frac{2}{3} (1+t)^{3/2}$，代入上下限：
$$a_n = \frac{3}{2n} \cdot \frac{2}{3} \left[ (1+t)^{3/2} \right]_0^{\left(\frac{n}{n+1}\right)^n} = \frac{1}{n} \left[ \left(1+\left(\frac{n}{n+1}\right)^n\right)^{3/2} - 1 \right]$$
公式：\int \sqrt{1+t} \, dt = \frac{2}{3} (1+t)^{3/2}
提示：积分计算要仔细，注意常数因子 $\frac{3}{2n}$ 与 $\frac{2}{3}$ 相乘后得到 $\frac{1}{n}$。
步骤 3/4
目标：将 $n a_n$ 表示为极限形式，并求关键子极限
由上式得 $n a_n = \left(1+\left(\frac{n}{n+1}\right)^n\right)^{3/2} - 1$。先求 $\left(\frac{n}{n+1}\right)^n$ 的极限：
$$\frac{n}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}$$
$$\lim_{n\to\infty} \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^n = \lim_{n\to\infty} \left[ \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^{n+1} \cdot \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^{-1} \right] = e^{-1} \cdot 1 = e^{-1}$$
公式：\lim_{n\to\infty} \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^n = e^{-1}
提示：利用重要极限 $\lim_{m\to\infty} (1+1/m)^m = e$ 的变形，注意指数匹配。
步骤 4/4
目标：代入极限并得出最终结果
因此 $1 + \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \to 1 + e^{-1}$，代入 $n a_n$ 的表达式：
$$\lim_{n\to\infty} n a_n = \left(1 + e^{-1}\right)^{3/2} - 1$$
公式：\lim_{n\to\infty} n a_n = (1+e^{-1})^{3/2} - 1
提示：注意幂次 $3/2$ 是对整个括号 $1+e^{-1}$ 进行运算，不要遗漏减1。
步骤 5/6
目标：求 $T$ 的极限
将 $T$ 改写为：
$$
T = \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n}
$$
利用重要极限 $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$，得：
$$
\lim_{n \to \infty} T = \frac{1}{e}
$$
公式：\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \to e, \quad T \to \frac{1}{e}
提示：注意 $\left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^n$ 也可，但用 $1/e$ 形式更直接。
步骤 6/6
目标：代入极限并得出最终结果
将 $T \to 1/e$ 代入极限表达式：
$$
\lim_{n \to \infty} n a_n = \left(1 + \frac{1}{e}\right)^{3/2} - 1
$$
此为最终结果。
公式：\lim_{n \to \infty} n a_n = \left(1+\frac{1}{e}\right)^{3/2} - 1
提示：注意指数运算顺序：先计算 $1+1/e$，再取 $3/2$ 次幂，最后减1。
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